Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

Семену подарили новый смартфон, и он закачал туда сразу до полутораста игр (определенно, никак не меньше ста). 80 % игр бесплатные, 1/9 – условно платные (freemium, за саму игру платить не надо, но за «апгрейды» – новые уровни, артефакты и проч. – придется), остальные платные. Сколько платных игр скачал Семен?

1. 12.

2. 15.

3. 35.

Сначала нужно определить, сколько всего игр скачал Семен. Многим покажется, что любой ответ в диапазоне от 100 до 150 подходит. Так, да не так, потому что есть еще два условия: и 4/5 (80 %), и 1/9 от всех игр должны быть целыми числами (а и правда, не мог же Семен скачать дробное число бесплатных или freemium игр). По сути, перед нами еще один пример диофантовой задачи (см. задачи № 47 и 55). Значит, общее число игр должно быть кратно 5 и 9, единственное число в диапазоне 100–150, удовлетворяющее этому условию, – это 135. Бесплатных игр из них 108, freemium 15, оставшиеся 12 игр – платные.

Фигурист выступает на катке, в судейской бригаде пятеро судей. По итогам выступления ему присуждают средний балл 5,8, но затем происходит скандал, одного из судей решают удалить с соревнований, в результате средний балл фигуриста снижается до 5,6. Сколько ему поставил удаленный судья?

1. Невозможно определить, не хватает данных.

2. 6.0.

3. 6.6.

Запишем оценку каждого судьи в виде: 5,8 + x i ( i = 1, 2, 3, 4, 5). Очевидно, что сумма x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5= 0 из самого определения среднего балла: средний балл – это сумма оценок, деленная на количество судей, мы получаем 5,8 × 5/5 + ( x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5)/5 = 5,8, сократив в обеих частях уравнения 5,8, получим искомое равенство. Его можно переписать в виде (считаем, что удаленный судья – пятый по счету): x 5= –( x 1+ x 2+ x 3+ x 4). Мы знаем, что после удаления пятого судьи средний бал снизился до 5,6, запишем это математически: 5,8 × 4/4 + ( x 1+ x 2+ x 3+ x 4)/4 = 5,6, откуда после простейших преобразований следует: x 1+ x 2+ x 3+ x 4= –0,8. Теперь уже элементарно найти оценку, данную пятым судьей: это 5,8 + x 5= 5,8 – ( x 1+ x 2+ x 3+ x 4) = 6,6. Также несложно теперь и ответить на вопрос, в чем заключался скандал и почему пятого судью удалили: дело в том, что максимальная оценка в фигурном катании составляет 6 баллов. Если судья ставит больше, то, значит, что-то с ним не то.

У Алеши А конфет, у Бори Б, у Вити В и у Гаврилы Г. Известны лишь произведения: А × Б = 6, Б × В = 12, В × Г = 24. Сколько конфет у Гаврилы, если известно, что у Бори их больше, чем у Вити?

1. 4.

2. 6.

3. 12.

Проще всего начать с Алеши и Бори, поскольку произведение А × Б = 6 минимально, значит, минимально и число комбинаций А и Б. Следует исходить из того, что А и Б – положительные целые (опять этот Диофант! См. задачи № 47, 55 и 62), так как отрицательное количество конфет есть нонсенс, а про обкусанные конфеты задач задавать тоже не принято. Тогда возможны следующие варианты: А = 1, Б = 6, В = 2, Г = 12 (1); А = 2, Б = 3, В = 4, Г = 6 (2); А = 3, Б = 2, В = 6, Г = 4 (3); А = 6, Б = 1, В = 12, Г = 2 (4). У Бори больше конфет, чем у Вити, только в первом случае, во всех прочих Б < В. Значит, только этот вариант и подходит под условия задачи, у Гаврилы при этом 12 конфет, вот и ответ.

Учитель выписывает на доске числа – 13, 21, 34 – и просит учеников продолжить последовательность, дописав еще хотя бы два последующих числа. Они долго спорили, в конечном итоге пришли к трем различным вариантам, но ни в одном они не уверены. А какой выберете вы?

1. 42, 56.

2. 50, 69.

3. 55, 89.

Вопрос на эрудицию, если ответ вам неизвестен, догадаться будет весьма непросто. Нужно обратить внимание, что 13 и 21 в сумме дают аккурат 34, а какая последовательность выражается формулой «Каждое последующее есть сумма двух предыдущих»? Совершенно верно, это последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Любопытно, что числа Фибоначчи их автором, Леонардо Пизанским (1170–1250; Фибоначчи его прозвали только после смерти), были предложены для подсчета количества кроликов, известных своей плодовитостью, в каждом поколении.

Найти хотя бы один корень уравнения ( x + 1) ( x + 3) × ( x + 5) ( x + 7) = 945.

1. 2.

2. 4.

3. –10.

Приглядимся к уравнению: в левой части четыре множителя, каждый из которых отличается от соседнего на 2. Если разложить 945 на четыре таких множителя, то решение, можно считать, уже у нас в руках. Раскладываем: разумеется, 945 делится на 5; разделили, получили 189, сумма цифр дает 18, значит, оно делится еще и на 3; поделили, получили 63, а это 7 и 9, в итоге имеем 945 = 3 × 5 × 7 × 9, и x = 2 очевидно является решением. Но также решением является и –10: (–9) × (–7) × (–5) × (–3) снова равно 945 (минус на минус на минус на минус дает плюс). А есть ли еще решения? Заменим x на y = x + 4, тогда уравнение будет выглядеть так: ( y – 3)( y – 1)( y + 1)( y + 3) = 945. Вспоминая, что ( y – a )( y + a ) = y ² – a ², преобразуем уравнение к виду ( y ²–1)( y ²–9) = 945. Заменим еще одно обозначение y ² = z и получим квадратное уравнение на z: z ² – 10 z – 936 = 0 (мы просто раскрыли скобки и перенесли все из правой части уравнения в левую). У этого уравнения есть два корня: 36 и −26. С первым все понятно: подставляя z = ( x + 4)², мы как раз получим уже известные нам первые два решения. А как быть со вторым? Ну, тут история позаковыристее, нужно взять квадратный корень из отрицательного числа. Кто-то скажет, что таких не бывает, а мы скажем: бывает, это же просто i × √26, где i = √−1 – мнимая единица. Таким образом, оставшиеся два корня уравнения – это 4 ± i × √26.