Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

1. Справедлива, в среднем игрок получает столько же, сколько отдает.

2. Была бы справедливой, если бы почаще выпадали двойные и тройные выигрыши.

3. Несправедлива, игрок теряет деньги как раз из-за двойных и тройных выигрышей.

Справедливая игра – та, в которой в среднем игрок не выигрывает и не проигрывает. Такая игра не в интересах казино, поэтому игры против казино всегда не вполне справедливы. Так, если на рулетке вы поставите по доллару на все номера сразу (включая зеро), то потратить придется $37, а выиграете, хотя и гарантированно, только $36, 1/37 всех ставок в среднем всегда достается казино. А что с игрой «Попытай счастья»? Поставим по доллару на каждый номер. Если выпали три разных значения, то мы при своих: угадав три выпавших номера, мы получили с каждого из них по $2, значит, нам вернули $6, ровно столько мы и ставили. Хуже, если на двух кубиках выпал один и тот же номер: тогда мы получим $3 (начальная ставка плюс ее удвоенный размер) за повторный номер и еще $2 за другой выпавший номер. Выходит, возвращается только $5 из $6, 1/6 поставленных денег мы потеряли. Ну и самый грабительский вариант – это когда один номер выпал на всех трех кубиках: тогда из $6 нам вернется только $4, потери составляют 1/3! Если аккуратно посчитать вероятности выпадения двойных и тройных значений костей, мы придем к тому, что примерно 1/12 всех ставок идет в пользу организатора игры. Из этого понятно, что игра «Попытай счастья» по меньшей мере втрое несправедливее игры на рулетке!

У Мити есть набор одинаковых картонных квадратов, из которых он выкладывает различные фигуры. В частности, ему нравится выкладывать прямоугольники, причем такие, у которых число внешних (идущих по периметру прямоугольника) квадратов равно числу внутренних (все остальные – те, что внутри). Сколько таких прямоугольников может выложить Митя?

1. Это невозможно в принципе, число внешних и внутренних квадратов всегда будет различным.

2. Такие прямоугольники существуют, их ровно две штуки.

3. Если число квадратов в наборе неограниченно, то таких прямоугольников может быть сколько угодно.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b . Тогда число внутренних квадратов – это площадь «обрезанного» прямоугольника, у которого срезали внешние квадраты, расположенные по периметру, и оно равно ( a – 2) ( b – 2). Число же внешних квадратов – это 2 a + 2 b – 4. Приравнивая две эти формулы и определяя b через a , получим b = 4 ( a – 2)/( a – 4). На первый взгляд, ввиду того, что a может принимать какие угодно значения, у нас и правда бесчисленное множество решений. На деле это не так, потому что решения нас устраивают не абы какие, а только диофантовы (от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, III век н. э.) – т. е. такие, которые выражаются в целых числах (требование, чтобы число квадратов было целым, представляется самоочевидным). А таких решений только два: a = 5, b = 12; a = 6, b = 8. Есть еще симметричные решения, где a и b меняются местами ( a = 8, b = 6 и a = 12, b = 5), но это на деле те же самые прямоугольники, просто повернутые на 90°.

Улитка за день взбирается по склону Фудзи [4]на 150 м, к ночи засыпает, выпадает роса, и улитка соскальзывает по влажной горе вниз на 100 м. Она начала свой путь 1 июня. Когда улитка доберется до вершины? Высота Фудзи почти 3800 м.

1. 7 июля.

2. 13 августа.

3. 15 августа.

Какой высоты достигает улитка на n -й день? На первый день 150 м (потом сползает на 100 м назад), на второй день 200 м (опять на 100 м вниз), 250 м и т. д. Значит, мы можем записать, на какую высоту взбирается улитка, в виде формулы h [ n ] = 150 + 50 ( n – 1), где n – количество пройденных дней (1 июня – день первый, n = 1). Улитка на вершине, когда h [ n ] = 3800 (то, что она ночью спустится с вершины вниз, для нас уже неважно), 50 n = 3700, n = 74 – улитка покорит Фудзи на 74-й день, который наступит 13 августа.

Принтер с картриджем стоит 1000 руб., при этом и принтер, и картридж можно купить по отдельности, и принтер в этом случае на 300 руб. дороже картриджа. Сколько стоит картридж?

1. 300 руб.

2. 350 руб.

3. 400 руб.

Из 1000 вычитаем 300 – получаем 700, ровно столько стоят два картриджа. Делим пополам – в ответе 350 руб.

Двое играют в такую игру: по очереди слева направо пишут цифры 20-значного числа. Задача первого игрока (он записывает 1-ю, 3-ю, 5-ю и т. д. цифры) – сделать так, чтобы итоговое число не делилось на 7, второго – чтобы, наоборот, делилось. У кого из игроков больше шансов на выигрыш?

1. Первый выигрывает в шести случаях из семи.

2. Первый гарантированно выигрывает.

3. Второй гарантированно выигрывает.

Самое важное в этой игре – последний ход, и его предстоит сделать второму игроку. Перед ним 19 цифр, осталось дописать последнюю цифру, итоговое число будет A × 10 + B , где A – это число, полученное на предпоследнем шаге, B – та самая последняя цифра. Любое число A × 10 можно представить в виде С × 7 + D , где C – целое число, D – остаток от деления A × 10 на 7 (число от 0 до 6). Если в качестве B брать цифру 7 – D , итоговое число будет ( C + 1) × 7 и оно заведомо делится на 7, второй игрок всегда выигрывает в этой игре.

Два узбека, один из Бухары, другой из Самарканда, спорят о ценах.

– У нас все гораздо дешевле, – говорит бухарец. – Вот смотри, килограмм арбузов у нас стоит на 30 сумов меньше, чем у вас килограмм фиников.