Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Рис. 22

Рис. 23

20. На рис. 24 дан образчик магического квадрата с суммою очков в ряду 18.

21. Вот в виде примера две прогрессии с разностью 2:

a) 0-0; 0-2; 0-4; 0-6; 4-4 (или 3-5); 5-5 (или 4-6).

b) 0-1; 0-3 (или 1-2); 0-5 (или 2-3); 1-6 (или 3-4); 3-6 (или 4-5); 5-6.

Рис. 24

Всего 6-косточковых прогрессий можно составить 23. Начальные косточки их следующие:

a) для прогрессий с разностью 1:

b) для прогрессий с разностью 2:

0-0 0-2 0-1

22. Расположение задачи может быть получено из начального положения следующими 44 ходами:

14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7,

4, 3, 6, 4, 7, 14, И, 15, 13, 9,

12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13,

9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14,

10, 6, 2, 1.

23. Расположение задачи достигается следующими 39 ходами:

15, 14, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9,

5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13,

9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14,

13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

24. Магический квадрат с суммою 30 получается после ряда ходов:

12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15,

14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8,

4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6,

5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13,

14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

Занимаясь головоломками, относящимися к домино и к игре «15», мы оставались в пределах арифметики. Переходя к головоломкам на крокетной площадке, мы вступаем отчасти в область геометрии.

25. Даже опытный игрок скажет, вероятно, что при указанных условиях пройти ворота легче, чем крокировать: ведь ворота вдвое шире шара. Однако такое представление ошибочно: ворота, конечно, шире, нежели шар, но свободный проход для шара через ворота вдвое уже, чем мишень для крокировки.

Взгляните на рис. 2, 5, и сказанное станет вам ясно. Центр шара не должен приближаться к проволоке ворот меньше чем на величину радиуса, иначе шар заденет проволоку. Значит, для центра шара останется мишень на два радиуса меньше ширины ворот. Легко видеть, что в условиях нашей задачи ширина мишени при прохождении ворот с наилучшей позиции равна диаметру шара.

Рис. 25

Рис. 26

Посмотрим теперь, как велика ширина мишени для центра движущегося шара при крокировке. Очевидно, что, если центр крокирующего приблизится к центру крокируемого меньше чем на радиус шара, удар обеспечен. Значит, ширина мишени в этом случае, как видно из рис. 26, равна двум диаметрам шара.

Итак, вопреки мнению игроков, при данных условиях вдвое легче попасть в шар, нежели свободно пройти ворота с самой лучшей позиции.

26. После сейчас сказанного эта задача не требует долгих разъяснений. Легко видеть (рис. 27), что ширина цели при крокировке равна двум диаметрам шара, т. е. 20 см; ширина же мишени при нацеливании в столбик равна сумме диаметра шара и столбика, т. е. 16 см (рис. 28). Значит, крокировать легче, чем заколоться в

20: 16 = 1 1/ 4раза,

всего на 25 %.

Рис. 27

Рис. 28

Игроки же обычно сильно преувеличивают шансы крокировки по сравнению с попаданием в столбик.

27. Иной игрок рассудит так: раз ворота вдвое шире, чем шар, а столбик вдвое уже шара, то для свободного прохода ворот мишень вчетверо шире, чем для попадания в столбик.

Рис. 29

Рис. 30

Наученный предыдущими задачами, читатель наш подобной ошибки не сделает. Он сообразит, что для прицела в столбик мишень в 1 1/ 2раза шире, чем для прохода ворот с наилучшей позиции. Это ясно из рассмотрения рис. 29 и 30.

(Если бы ворота были не прямоугольные, а выгнутые дугой, проход для шара был бы еще уже - как легко сообразить из рассмотрения рис. 31.)

28. Из рис. 32 и 33 видно, что промежуток а , остающийся для прохода центра шара, довольно тесен при указанных в задаче условиях.

Рис. 31

Рис. 32

Знакомые с геометрией знают, что сторона (АВ) квадрата меньше его диагонали (АС) приблизительно в 1,4 раза. Если ширина ворот 3 d (где d - диаметр шара), то АВ равно:

3d: 1,4 = 2, Id

Рис. 33

Промежуток же а , который является мишенью для центра шара, проходящего мышеловку с наилучшей позиции, еще уже. Он на целый диаметр меньше и равен:

2,1 d - d = 1,1 d .

Между тем мишень для центра крокирующего шара равна, как мы знаем, 2d. Следовательно, крокировать почти вдвое легче при данных условиях, чем пройти мышеловку.

29. Мышеловка становится совершенно непроходимой в том случае, когда ширина ворот превышает диаметр шара менее чем в 1,4 раза. Это вытекает из объяснения, данного в предыдущей задаче. Если ворота дугообразные, условия прохождения еще сильнее ухудшаются.

- Еще веревочку? - спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельем. - Можно подумать, что я вся веревочная. Только и слышишь: веревочку да веревочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты ее девал?

- Куда девал бечевочку? - отвечал мальчуган. - Во-первых, половину ты сама взяла обратно…

- А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельем?

- Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек.

- Старшему брату ты всегда должен уступать.