Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

- Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того еще папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после - понадобилось еще сестре взять три пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

- Что же ты сделал с остальной бечевкой?

- С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 см! Вот и устраивай телефон из такого обрывка…

Какую же длину имела бечевка первоначально?

Сколько штук сапог необходимо заготовить для городка, третья часть обитателей которого одноногие, а половина остальных предпочитает ходить босиком?

Сколько в среднем волос на голове человека? Сосчитано [5] Многих удивляет, как могли узнать: неужели пересчитали один за другим все волосы на голове? Нет, этого не делали: сосчитали лишь, сколько волос на 1 кв. см поверхности головы. Зная это и зная поверхность кожи, покрытой волосами, легко уже определить общее число волос на голове. Короче сказать, число волос сосчитано анатомами таким же приемом, каким пользуются лесоводы при пересчете деревьев в лесу. : около 150 ООО. Определено также, сколько их в среднем выпадает в месяц: около 3000.

Как по этим данным высчитать, сколько времени - в среднем, конечно, - держится на голове каждый волос?

Мой заработок за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. Как велика моя зарплата без сверхурочных?

Лыжник рассчитал, что если он станет пробегать в час

10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня; при скорости же 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня.

С какой же скоростью должен он бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень?

Двое рабочих, старик и молодой, живут в одной квартире и работают на одном заводе. Молодой доходит от дома до завода за 20 мин, старый - за 30 мин. Через сколько минут молодой догонит старого, если последний выйдет из дому 5-ю минутами раньше его?

Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу за 2 часа, менее опытная - за 3 часа.

За сколько времени перепишут они этот доклад, если разделят между собой работу так, чтобы выполнить ее в кратчайший срок?

Задачи такого рода обычно решают по образцу знаменитой задачи о бассейнах. А именно, в нашей задаче находят, какую долю всей работы выполняет в час каждая переписчица; складывают обе дроби и делят единицу на эту сумму.

Рис. 34. С какой скоростью он должен бежать?

Рис. 35

Не можете ли вы придумать новый способ решения подобных задач, отличный от шаблонного?

Шестеренка о 8 зубцах сцеплена с колесом, имеющим 24 зубца (рис. 35) - При вращении большего колеса шестеренка обходит кругом него.

Спрашивается, сколько раз обернется шестеренка вокруг своей оси за то время, пока она успеет сделать один полный оборот вокруг большей зубчатки?

У любителя головоломок спросили, сколько ему лет. Ответ был замысловатый:

- Возьмите трижды мои годы через три года да отнимите трижды мои годы три года назад - у вас как раз и получатся мои годы.

Сколько же ему теперь лет?

- Сколько лет Иванову?

- Давайте сообразим. Восемнадцать лет назад, в год своей женитьбы, он был, я помню, ровно втрое старше своей жены.

- Позвольте, насколько мне известно, он теперь как раз вдвое старше своей жены. Это другая жена?

- Та же. И потому нетрудно установить, сколько сейчас лет Иванову и его жене. Сколько, читатель?

Когда мы с товарищем начали игру, у нас было денег поровну. В первый кон я выиграл 20 коп. Во второй я проиграл две трети того, что имел на руках, и тогда у меня оказалось денег вчетверо меньше, чем у товарища.

С какими деньгами мы начали игру?

Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей отдельными рублями и двугривенными. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько было у меня первоначально двадцатикопеечных монет, и столько двадцатикопеечных монет, сколько имел я раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с какой я отправился за покупками.

Сколько стоили покупки?

30. После того как мать взяла половину, осталась 1/ 2; после заимствования старшего брата осталась 1/ 4; после отца - 1/ 8; после сестры - 1/ 8х 3/ 5= 3/ 40. Если 30 см составляют 3/ 40первоначальной длины, то вся длина равна 30: 3/ 40= 400 см, или 4 м.

31. Так как число жителей городка неизвестно, то ответ на вопрос этой полушуточной головоломки возможен лишь в такой форме, достаточно, впрочем, определенной: «Требуется столько штук сапог, сколько в городке жителей».

В самом деле. Пусть число жителей равно п. Тогда для снабжения одноногих требуется n/ 3штук сапог. Из прочих 2n/з жителей нуждается в обуви только половина - 1/ 3; а так как каждому из этой части населения нужно по два сапога, то им требуется 2/ 3штук. Всего же для городка следует заготовить

т. е. столько штук, сколько в городке жителей.

32. Позже всего выпадает, конечно, тот волос, который сегодня моложе всех, т. е. возраст которого 1 день. Посмотрим же, через сколько времени дойдет до него очередь выпасть. В первый месяц из тех 150 000 волос, которые сегодня имеются на голове, выпадет 3 тысячи, в первые два месяца - 6 тысяч, в течение первого года - 12 раз по 3 тысячи, т. е. 36 тысяч. Пройдет, следовательно, четыре года с небольшим, прежде чем наступит черед выпасть последнему волосу. Так определилась у нас средняя долговечность человеческого волоса: четыре с небольшим года.

33. Многие, не подумав, отвечают: 200 руб. Это неверно: ведь тогда основная зарплата будет больше сверхурочных только на 150 руб., а не на 200.

Задачу нужно решать так. Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200 руб., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250 руб. прибавим 200 руб., то у нас должны составиться две основные зарплаты. Но 250 + 200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. Отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб., т. е. 25 руб.