Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Кори вкладывал душу в каждое домашнее задание, находил ясные связи между темами и собирал свои тетрадки с такой тщательностью и терпением, что я всегда опасался, как бы он не опоздал на следующий урок. Неудивительно, что на первой большой контрольной в ноябре Кори расщелкал все задачи.

Вернее, все задачи, на которые у него хватило времени.

Прозвенел звонок, но последняя четверть бланка ответов все еще была пуста. Он набрал чуть больше 70 баллов из 100 и явился ко мне на следующий день с нахмуренным лбом.

— Сэр, — сказал он (поскольку Англия — поразительная страна, где даже к нескладным 29-летним учителям обращаются с большим почтением), — почему время на решение контрольных ограничено?

Я полагаю, что честность — наилучшая политическая линия.

— Не потому, что скорость очень важна. Мы просто хотим удостовериться, что школьники могут справиться с контрольной сами, без посторонней помощи.

— Так почему нельзя работать после звонка?

— Ну, если бы я держал весь класс в заложниках весь день, другие учителя могли бы взбелениться. Они хотят, чтобы вы знали физику и географию, потому что ностальгически привязаны к реальности.

Я осознал, что никогда не видел Кори в таком состоянии: зубы сжаты, глаза потускнели. Всем своим видом он излучал разочарование.

— Я мог решить больше задачек, — сказал он. — У меня просто кончилось время.

— Я знаю, — кивнул я.

Больше нечего было сказать.

Намеренно или нет, школьная математика посылает громкий, четкий сигнал: « Скорость — это всё». Контрольные нужно решать быстро. Чем раньше сдашь контрольную, тем быстрее приступишь к домашней работе. Вы только посмотрите, как заканчиваются уроки — по звонку, как раунд извращенной принудительной викторины по логарифмам. Математика превращается в гонку, успех становится синонимом скорости.

Все это в высшей степени глупо.

Скорость имеет одно баснословное преимущество: она экономит время. Но математика требует глубокого проникновения в суть поставленной задачи, подлинного понимания, элегантного подхода. Вы не достигнете ничего из вышеперечисленного, перемещаясь со скоростью 1000 км/ч. Вы лучше разберетесь в математике, если будете думать тщательно, а не на скорую руку, и вы лучше изучите ботанику, рассматривая каждую травинку, а не скача как одержимый через пшеничное поле.

Кори понимал это. Я уповаю только на то, что учителя наподобие меня [18] Моим учителем в этой главе был Дэвид Кламп, чьи замечания сочетали эрудицию кого-то вроде Карла Сагана с мягкой человечностью кого-то вроде Карла Сагана (похоже, Дэвид и есть Карл Саган). не пытались, вопреки нашим лучшим намерениям, переубедить его.

Моя жена, математик-исследователь, однажды указала мне на курьезный паттерн математической жизни.

• Шаг 1. В воздухе повис сложный и захватывающий вопрос, важная гипотеза нуждается в доказательстве. Многие пытаются приручить зверя, но безуспешно.

• Шаг 2. В конце концов кто-нибудь находит длинное и запутанное доказательство, оно чрезвычайно глубокое, но за мыслью сложно уследить.

• Шаг 3. Со временем публикуются новые доказательства, они становятся все короче и проще, пока в конце концов самое первое доказательство не приобретает статус артефакта: неэффективная лампочка Эдисона выходит из употребления, уступая место более современным и изящным инженерным решениям.

Почему эта траектория настолько распространена?

Ну, в первый раз, когда вы находите истину, вы часто бредете колдобистым, извилистым путем. Вам делает честь то терпение, которое вы проявили, чтобы пережить все перипетии. Но требуется еще больше терпения, чтобы продолжить думать дальше. Только тогда вы сумеете отделить необходимые шаги от излишних, пойти напрямик и сократить нудное 120-страничное доказательство до цельного десятистраничного.

В 1920-е годы алгебра, вероятно, была самой скучной из всех отраслей математики [19] Israel Kleiner, «Emmy Noether and the Advent of Abstract Algebra», A History of Abstract Algebra (Boston: Birkhäuser, 2007), 91–102, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-8176-4685-1_6#page-2 . Я исказил аргумент Клейнера; ключевая идея в том, что в XIX веке удалось добиться больших успехов в геометрии и математическом анализе, но алгебра оставалась в первозданном закостенелом состоянии. . Заниматься алгеброй означало увязнуть в трясине мелочей, угодить в терновый куст громоздких технических формальностей, в дисциплину деталей.

И вот в 1921 году математик по имени Эмми Нётер [20] Joaquin Navarro, Women in Maths: From Hypatia to Emmy Noether. Everything is Mathematical (Spain: R. B. A. Coleccionables, S. A., 2013) [ Наварро Х. Женщины-математики: от Гипатии до Эмми Нётер. Вып. 37. 2014. — (Сер.: Мир математики).] опубликовала статью под названием «Теория идеалов в кольцевых областях». Забрезжила заря новой эпохи. Позже ее коллега сказал, что это рассвет «абстрактной алгебры как осознанной дисциплины». Нётер не была заинтересована в распутывании конкретных числовых схем. На самом деле она отложила саму идею числá в сторону. Для нее имели значение только симметрия и структура. «Она учила нас думать, пользуясь простыми и, соответственно, общими терминами, — вспоминал впоследствии один из ее коллег. — Поэтому она открыла путь к выявлению алгебраических закономерностей там, где раньше закономерности не были ясны».

Хорошая научная работа прежде всего требует сосредоточения на мельчайших деталях. Великая научная работа требует пренебрежения к деталям.

Для Нётер абстрагирование было не просто интеллектуальной привычкой, а стилем жизни. «Она часто перескакивала на родной немецкий, когда была поглощена какой-нибудь идеей, — рассказывал потом другой ее коллега [21] Профессор Грейс Шоуэр Квин. См.: Marlow Anderson, Victor Katz, and Robin Wilson, Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History (Washington, DC: Mathematical Association of America, 2009). . — Она любила пешие прогулки. Она приглашала учеников на променад в субботу днем и была настолько поглощена разговорами о математике, что забывала об автомобилях, и ученикам приходилось оберегать ее».

Великих математиков не волнуют тривиальности наподобие пешеходных переходов и интенсивности автомобильного потока. Они смотрят умственным взором на нечто большее.

В 1998 году Сильвия Серфати [22] См. интервью с Сильвией Серфати: Siobhan Roberts, «In Mathematics, ‘You Cannot Be Lied To’», Quanta Magazine , February 21, 2017, https://www.quantamagazine.org/sylvia-serfaty-on-mathematical-truth-and-frustration-20170221 . Я рекомендую статьи Робертса о математике так же горячо, как альбомы R. E. D. была поглощена вопросом: как определенные вихри эволюционируют со временем. Она даже написала об этом монографию («Вихри в магнитной модели Гинзбурга — Ландау»), но чувствовала, что зашла в тупик, решая эту головоломку.