Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Но если арифметика отстала от алгебры и анализа, то лучшее, что она может сделать, – это постараться уподобиться этим наукам, чтобы воспользоваться их успехами. Итак, арифметист должен взять в руководители аналогии с алгеброй. Эти аналогии многочисленны, и если во многих случаях они еще не изучены настолько, чтобы их можно было использовать, то, во всяком случае, их существование предчувствовалось с давних пор; самый язык обеих наук показывает, что эти аналогии были подмечены. Так, говорят о трансцендентных числах и при этом отдают себе отчет в том, что будущая классификация этих чисел имеет своим прообразом классификацию трансцендентных функций, и в то же время пока еще не видно, как можно будет перейти от одной классификации к другой, но ведь, будь это вполне ясным, этот переход был бы уже выполнен, а не был бы делом будущего.

Как пример, мне прежде всего приходит на ум теория сравнения, в которой мы видим совершенный параллелизм с теорией алгебраических уравнений. Несомненно, что этот параллелизм будет еще пополнен, например, параллелизмом между теорией алгебраических кривых и теорией сравнений с двумя переменными. А когда проблемы относительно сравнений с многими переменными будут разрешены, это будет первым шагом на пути к решению многих вопросов неопределенного анализа.

Область арифметики, совершенно лишенную всякого единства, представляет собой теория простых (первоначальных) чисел. Здесь найдены только асимптотические законы, да других и нельзя ожидать; но эти законы оказываются изолированными; к ним можно прийти лишь по различным путям, между которыми, по-видимому, невозможно никакое сообщение. Мне кажется, что я предвижу, откуда придет желанное единство, но, конечно, не вполне ясно; несомненно, что все сведется к изучению семейства трансцендентных функций, которые дадут возможность путем изучения их особых точек и с помощью метода Дарбу [26] Известный французский математик, современник Пуанкаре. – Прим. ред . вычислить асимптотически известные функции очень больших чисел.

Теория алгебраических уравнений еще долго будет привлекать к себе внимание математиков; к ней можно подойти со многих различных между собой сторон, самой важной является, несомненно, теория групп. Но остается еще вопрос о численном определении корней и об исследовании числа действительных корней. Лагерр показал, что Штурм не сказал последнего слова по этому вопросу.

Лет сорок назад казалось, что изучение инвариантов алгебраических форм поглотит всю алгебру; теперь оно почти заброшено, хотя предмет далеко еще не исчерпан; надо только его расширить, не ограничиваясь, например, инвариантами, относящимися к линейным преобразованиям, но захватывая все те, которые относятся к какой-либо группе. Таким образом, прежде добытые теоремы наведут нас на мысль о других более общих, которые будут группироваться вокруг них, подобно тому, как кристалл растет в растворе.

Не следует думать, что алгебра закончена, раз она дала нам правила образования всех возможных комбинаций; остается еще разыскание интересных комбинаций, удовлетворяющих тому или другому условию. Таким путем может образоваться своего рода неопределенный анализ, в котором неизвестными будут не целые числа, а многочлены. Но здесь уже алгебра будет брать пример с арифметики, руководствуясь аналогией целого числа либо с целым многочленом с произвольными коэффициентами, либо с целым многочленом с целыми же коэффициентами.

По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты – это те же факты алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, что после того обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так – значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения этих вещей и, следовательно, способ их группирования.

И прежде всего геометрические рассуждения приводят нас к постановке новых проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы нас к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден разрешать проблемы для удовлетворения потребностей физики.

Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут прийти на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме. К несчастью, наши чувства не могут вести нас особенно далеко, они покидают нас, лишь только мы обнаруживаем желание унестись за три классические измерения. Значит ли это, что, выйдя из той области, в которой они нас, по-видимому, хотят удержать, мы не вправе более рассчитывать на что-либо, кроме чистого анализа, и что всякая геометрия более чем трех измерений тщетна и бесцельна? Величайшие умы предшествующего нам поколения ответили бы: «да»; мы же теперь так освоились с этим понятием, что можем говорить о нем даже в университетском курсе, не вызывая особенного удивления.

Но к чему оно нам? Ответ очевиден: оно дает нам прежде всего весьма удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее есть лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как и в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно.

Эта геометрия пространств, имеющих более трех измерений, не является простой аналитической геометрией; она имеет характер не исключительно количественный, но также и качественный, и этим-то она особенно интересна. Есть дисциплина, которую называют «Analysis Situs» и предметом изучения которой являются соотношения расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия – чисто качественная: ее теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены грубыми изображениями, созданными ребенком. Можно построить также Analysis Situs более чем трех измерений. Важность Analysis Situs огромна, и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено; это достаточно подтверждается той пользой, которую из него извлек Риман, один из главных творцов этой дисциплины. Нужно дойти до ее полного построения в пространствах высшего порядка; тогда у нас будет в руках такое орудие, которое позволит действительно видеть в гиперпространстве и расширить область наших чувственных восприятий.