Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Если сигнализаторы А 1и А 2, например, связаны один и другой с ответным ударом В 1и если А 1связан также с ответным ударом В 2, то обыкновенно случается, что А 2и В 2также связаны. Если бы этот основной закон не был вообще справедлив, то произошло бы неимоверное смешение, и ничего схожего с понятием о пространстве или с геометрией не могло бы составиться. В самом деле, вспомним, как мы определяли точку пространства. Мы это сделали двояко: с одной стороны, мы имели совокупность сигнализаторов A , которые связаны с одним и тем же ответным ударом В , с другой – совокупность ответных ударов В , связанных с одним и тем же сигнализатором A . Если бы наш закон не был справедлив, следовало бы сказать, что А 1и A 2отвечают одной и той же точке, потому что оба они связаны с ответным ударом В 1, но, равным образом, следовало бы также сказать, что они не отвечают одной и той же точке, потому что А 1связан с В 2, а А 2не связан с В 2. Это было бы противоречием.

Но, с другой стороны, если бы закон был строго и всегда правилен, пространство было бы отлично от того, каким оно является. Мы имели бы резко очерченные категории, между которыми распределились бы, с одной стороны, сигнализаторы A и с другой – ответные удары В ; эти категории были бы чрезвычайно многочисленны, но они были бы друг от друга совершенно отделены. Пространство было бы составлено из очень многочисленных, но раздельных точек, оно было бы прерывным. Не было бы оснований предпочесть один порядок расположения точек другому, не было бы, следовательно, оснований приписывать пространству три измерения.

Но дело обстоит не так. Да будет мне позволено воспользоваться на мгновение языком людей, уже знающих геометрию. Это даже необходимо, потому что именно такой язык наиболее понятен читателям, которых я имею в виду, поясняя свою мысль. Когда я хочу отразить удар, я стараюсь достигнуть той точки, откуда удар исходит, но для этого достаточно, чтобы я приблизился к точке на надлежащее расстояние. В таком случае ответный удар В 1может отвечать ударам А 1и А 2, если только точка, отвечающая В 1, одновременно достаточно близка к точкам, отвечающим А 1и А 2. Но может случиться, что точка, отвечающая другому ответному удару В 2, окажется достаточно близкой к точке, отвечающей А 1, но недостаточно близкой к точке, отвечающей A 2. Таким образом, ответный удар В 2будет соответствовать А 1и не соответствовать A 2.

Для того, кто не знает еще геометрии, все это покажется просто нарушением формулированного выше закона. Для него дело будет происходить таким образом: два ответных удара В 1и В 2будут связаны с одним и тем же сигнализатором А 1и с еще большим числом сигнализаторов, которые мы включили в туже категорию, в какой находится А 1, и которые мы отнесем к одной и той же точке пространства. Но мы сможем найти сигнализаторы А 2, которые будут связаны с В 2, не будучи связанными с В 1, и которые зато связаны с B 3, причем В 3не связан с А 1и т. д. Итак, мы можем писать ряд В 1, А 1, В 2, А 2, В 3, A 3, В 4, A 4, в котором каждый член связан со следующим и с предыдущим, но не связан с членами, отстоящими от него дальше.

Излишне прибавлять, что каждый из членов этих рядов не является изолированным, а составляет часть очень многочисленной категории других сигнализаторов или других ответных ударов. Эта категория имеет такие же связи, как и первый член, и ее можно рассматривать как относящуюся к одной и той же точке пространства. Основной закон, несмотря на исключения, остается, следовательно, почти всегда верным. Но благодаря этим исключениям упомянутые категории вместо того, чтобы оставаться совершенно обособленными, захватывают друг друга некоторыми частями, проникают одни в другие, и пространство, таким образом, становится непрерывным.

С другой стороны, порядок, в котором категории должны быть размещены, не оказывается уже произвольным. Обращаясь к предыдущему ряду, легко заметить, что В 2должен быть помещен между А 1и А 2и, следовательно, между В 1и В 3, но не может быть помещен, например, между В 3и В 4.

Итак, существует порядок, в котором естественно располагаются категории, отвечающие точкам пространства. И опыт нас учит, что этот порядок представляется в виде таблицы с тремя входами, вот почему пространство имеет три измерения.

Характерная особенность пространства, выражающаяся в том, что оно обладает тремя измерениями, есть, таким образом, особенность нашего распределительного щита, есть, так сказать, внутреннее свойство человеческого ума. Достаточно было бы разрушить некоторые из соединений, т. е. некоторые ассоциации идей, чтобы получить другой распределительный щит, а этого было бы достаточно, чтобы пространство приобрело четвертое измерение. Такой результат может удивить некоторых. Ведь внешний мир, скажут они, должен же играть здесь какую-то роль. Если число измерений зависит от того, как мы созданы, то можно предположить, что мыслящие существа, живущие в нашем мире, но созданные иначе, чем мы, полагали бы, что пространство имеет больше или меньше трех измерений. И не утверждал ли Цион, что японские мыши, имеющие только две пары полукружных каналов, думают, что пространство имеет два измерения? А подобное мыслящее существо, если бы оно было способно создать физику, разве не построило бы физики двух или четырех измерений, физики, которая, в известном смысле, была бы такою же, как и наша, ибо она описывала бы другим языком тот же самый мир?

В самом деле, не представляет, по-видимому, никаких затруднений перевести нашу физику на язык геометрии четырех измерений. Осуществить действительно такую задачу значило бы потратить много усилий с ничтожной пользой, и я ограничусь лишь указанием на механику Герца, в которой мы имеем нечто, напоминающее такой перевод. Но такой перевод, по-видимому, всегда был бы сложнее текста и всегда обнаруживал бы свою заимствованную природу, тогда как язык трех измерений кажется наиболее приспособленным к описанию нашего мира, хотя это описание может быть точно выполнено и на другом языке.

Однако наш распределительный щит возник неслучайно. Имеется связь между сигналом А 1и ответным ударом В 1, это – внутреннее свойство нашего ума. Но чем объясняется эта связь? Тем, что ответный удар В 1позволяет действительно защититься против опасности А 1, а это – факт, внешний для нас, это – свойство внешнего мира. Таким образом, наш распределительный щит есть лишь выражение совокупности внешних фактов; если он имеет три измерения, то это потому, что он приспособлен к миру, имеющему определенные свойства, и главное из этих свойств заключается в том, что в этом мире существуют твердые тела, перемещающиеся по таким законам, которые мы называем законами движения неизменяющихся твердых тел. Если, следовательно, язык трех измерений лучше всего позволяет нам описать наш мир, то мы не должны этому удивляться. Этот язык скопирован с нашего распределительного щита, а этот щит установлен для того, чтобы можно было жить в этом мире.