Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

«Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше доказано, что оно непротиворечиво, это значит, – продолжает Кутюра, – предъявлять произвольное и неправильное требование». Капитуляция в вопросе об отсутствии противоречия выражена здесь в словах как нельзя более энергичных и самонадеянных. «Во всяком случае, onus probandi падает на тех, кто полагает, что эти принципы противоречивы». Постулаты предполагаются совместимыми друг с другом до тех пор, пока не доказано противоположное, подобно тому, как обвиняемый по презумпции предполагается невиновным.

Излишне говорить, что я не подписываюсь под этой капитуляцией. Но, говорите вы, доказательство, которого вы от нас требуете, невозможно, вы не должны от нас требовать, чтобы мы «схватили Луну зубами». Простите, оно невозможно для вас, но не для нас, допускающих принцип индукции в качестве априорного синтетического суждения. И оно так же необходимо вам, как и нам.

Чтобы доказать, что система постулатов не заключает противоречия, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ суждения не только не «странный», но единственно правильный. Отнюдь нельзя считать «неправдоподобными» случаи его применения; и нетрудно найти соответствующие «примеры и прецеденты». Я цитировал в моей статье два таких примера, заимствованных из брошюры Гильберта. Но он не один применял такой способ; те же, которые его избегали, были неправы. Я упрекал Гильберта не в том, что он к нему прибегал (как настоящий математик, Гильберт не мог не увидеть, что здесь необходимо было доказательство и что данное им доказательство было единственно возможное), но в том, что, прибегая к нему, он не признавал в нем суждения по рекуррентному методу.

Я отметил вторую ошибку логистиков в статье Гильберта. Теперь Гильберт отлучен, и Кутюра более не считает его логистиком. Он меня спросит, нашел ли я ту же самую ошибку у логистиков-ортодоксов. Нет, я не встречал ее на тех страницах, которые прочитал; но я не знаю, не встречу ли я ее на трехстах страницах, которые написаны ортодоксами и которые у меня нет желания читать.

Но логистикам придется впасть в эту ошибку, как только они захотят сделать из математической науки какое-нибудь приложение. Эта наука не имеет единственной целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент необходимо будет отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет более довольствоваться.

Вернемся к примеру Гильберта. Дело идет все о том же рекуррентном суждении и о том, заключает ли система постулатов противоречие. Кутюра скажет, без сомнения, что это его не касается; но это заинтересует, быть может, тех, кто не отказывается, как он, от доказательства отсутствия противоречия.

Мы хотим установить, как мы говорили выше, что не встретим противоречия после сколь угодно большого числа суждений, раз это число будет конечным. Для этого необходимо применить принцип индукции. Должны ли мы под конечным числом понимать здесь всякое число, к которому по определению применим принцип индукции? Очевидно, нет, так как в противном случае мы пришли бы к следствиям, которые нас чрезвычайно затруднили бы.

Для того чтобы мы имели право установить систему постулатов, мы должны быть уверены, что постулаты непротиворечивы. Это – истина, принятая большинством ученых, я бы сказал «всеми учеными» до того, как прочел последнюю статью Кутюра. Но что обозначает эта истина? Имеется ли в виду: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем конечным по определению будет такое число, которое обладает всеми свойствами рекуррентного характера, так что, если одно из этих свойств отсутствует, если мы, например, натолкнемся на противоречие, то мы условимся говорить, что данное число не есть конечное?

Другими словами, хотим ли мы сказать: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что мы не встретим противоречия при условии, что мы согласимся остановиться в тот момент, когда такое противоречие начнет обрисовываться? Достаточно сформулировать такое предложение, чтобы тут же его осудить.

Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но оно предполагает, что этот принцип нам дан не как простое определение, а как априорное синтетическое суждение.

Резюмируем:

доказательство необходимо;

единственно возможное доказательство есть рекуррентное доказательство;

оно законно только тогда, когда допускают принцип индукции и когда его рассматривают не как определение, а как синтетическое суждение.

Я обращаюсь теперь к рассмотрению нового мемуара Рассела. Этот мемуар был написан с целью преодолеть трудности, поднятые теми канторовскими антиномиями, на которые я неоднократно намекал выше. Кантор думал, что можно построить науку бесконечного; другие пошли по пути, открытому Кантором, но скоро натолкнулись на странные противоречия. Возникшие антиномии уже многочисленны, но наиболее известны следующие:

1. Антиномия Бурали-Форти.

2. Антиномия Цермело – Кёнига.

3. Антиномия Ришара.

Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о порядковых трансфинитных числах, т. е. о новом понятии, введенном Кантором) могут быть размещены в один линейный ряд, т. е. доказал, что из двух неравных порядковых чисел одно число всегда меньше другого. Бурали-Форти доказывает противоположное. В самом деле, говорит он, если бы все порядковые числа можно было разместить в один ряд, то этот ряд определял бы порядковое число, которое было бы больше, чем все другие, но к нему можно было бы прибавить единицу, и тогда получилось бы порядковое число, которое было бы еще больше, а это приводит к противоречию. Мы вернемся позднее к антиномии Цермело – Кёнига, которая имеет несколько отличную природу.

Но вот антиномия Ришара (Revue Générale des Sciences. – 1905, 30 juin). Рассмотрим все десятичные числа, которые можно определить при помощи конечного числа слов. Эти десятичные числа образуют совокупность Е , и легко видеть, что это есть исчислимая совокупность, т. е. можно перенумеровать различные десятичные числа этой совокупности от 1 до бесконечности. Допустим, что это уже произведено, и определим число N следующим образом. Если n -я цифра n -го числа совокупности Е есть

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

то n -я цифра числа N будет соответственно

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1.

Как мы видим, N не равно n -му числу совокупности Е , а так как n есть произвольное число, то N не принадлежит совокупности Е ; между тем N должно ей принадлежать, так как мы определили N при помощи конечного числа слов.