Дмитрий Паршаков - Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта

В 1900г. на 1 Международном математическом конгрессе, известный математик Давид Гильберт[1] поставил перед математиками всего мира 23 задачи. Эти задачи принято называть "Проблемами Гильберта".

Решением десятой проблемы Гильберта стало признание ее неразрешимости, доказанное советским математиком Ю.В.Матясевичем [2] в 1970г.

Доказательство неразрешимости Матиясевича признано как единственно допустимое, но возможно это не так.

Итак, для того, чтобы опровергнуть, либо подтвердить это доказательство нужно вначале напомнить задачу, определенную Д.Гильбертом в 10-й проблеме.

«Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах»

То есть нужно найти некий алгоритм, при помощи которого возможно находить натуральные (целочисленные) значения для произвольных неизвестных.

Самое известное уравнение Диофанта[3] это формула Пифагора[4].

Известны также так называемые «тройки Пифагора», целочисленные значения для неизвестных «a,b,c»

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25 и т.д. Эти тройки имеют два сходства: первое – квадрат первого числа равен сумме двух других чисел, второе – разница между вторым и третьим числом равна 1. Следовательно, можно предположить, что это не случайные совпадения. Исходя из этого, составим равенства

Теперь, используя все эти формулы, составим уравнения

Подставим эти уравнения в формулу Пифагора

Получилось равенство значений правой и левой сторон уравнения. Это можно считать доказательством существования алгоритма нахождения натуральных значений «пифагоровых троек». Итак, обобщим формулы алгоритма и собственно получившийся алгоритм

Но эти формулы диофантовы лишь для нечетных чисел, хотя при постановке в формулы четных чисел для «а» также можно найти значения двух других чисел «b» «c», эти значения будут рациональными, но не целыми числами.

Пример № 1

«а»= 8

Также, применяя этот алгоритм, можно находить соответствующие значения «троек» для любых рациональных чисел.

Пример № 2

a=2,5

Так как закономерностью алгоритма является соотношение

то значение «c» можно найти, добавив к числу «b» 1

Алгоритм верен и для дробей

Пример № 3

И для квадратных корней

Пример № 4

Применяя этот алгоритм, можно находить значения практически всех троек Пифагора.

Однако существуют тройки, которые не подходят к этому алгоритму: 20,21,29; 12,35,37; 14,48,50; 15,36,39 и т.д.

Следовательно: этот алгоритм нельзя назвать единым способом нахождения всех Пифагоровых троек. Но не будем опускать руки. Разберем пример с числовой тройкой 20,21,29

Выше я привел пример с а=2.5, значения b и с были соответственно 2.625 и 3.625, если предположить, что число 20 это производная числа 2.5, то получится коэффициент равный 8, и следовательно числа 20,21,29 не являются взаимно простыми. Проверим это предположение

Коэффициент кратности исходного уравнения совпадает с разностью между «b» и «с». Чтобы выяснить совпадение это или закономерность, проверим другую тройку 15,36,39. Разница между «b» и «с» составляет 3

Пример № 5

Получилась уже известная тройка 5,12,13, то есть удовлетворяющая условиям исходного или первичного алгоритма, что и требовалось подтвердить.

Остается еще один вопрос. При возведении числа в квадрат не важно, с каким знаком: плюсом или минусом, результат все равно будет иметь положительное значение. Это важно для подтверждения правильности алгоритма. В примере 3, число «b» имеет отрицательное значение, но если поменять знак ничего не изменится, и результат останется прежним. Если поменять знак числа b с минуса на плюс, разница между b и с, уменьшится в 9 раз

Пример № 6

Исходя из вышеизложенного, можно предположить, что разница является коэффициентом кратности исходного уравнения. Для проверки этого предположения нужно разделить числа тройки на получившийся коэффициент.