Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Но зачем, можете вы спросить, кому-то вообще понадобилось брать эти две производные? Потому что это делает природа, причем постоянно. Вернее, постоянно делают наши модели природы. Например, в ньютоновском законе движения F = ma ускорение a подразумевает две производные. Вспомните, что ускорение – это производная скорости, а скорость – производная расстояния. Следовательно, ускорение – это производная производной расстояния, или, проще говоря, вторая производная расстояния. Вторые производные встречаются в физике и технологии повсеместно. Они присутствуют не только в упомянутом уравнении Ньютона, но и в уравнении теплопроводности и волновом уравнении.

Вот почему синусоидальные волны так хорошо подходят для таких уравнений. Для них вторые производные сводятся к простому умножению на –1. Фактически операции анализа, которые затрудняют изучение уравнения теплопроводности и волнового уравнения, перестают быть проблемами. Анализ пропадает, поскольку заменяется умножением. Именно это значительно упрощает задачи о движении струны и о теплопередаче для синусоидальных волн. Если бы из них можно было сконструировать произвольную кривую, то она унаследовала бы все достоинства синусоид. Единственная загвоздка – для построения произвольной кривой пришлось бы складывать бесконечное количество синусоид, но это небольшая цена.

Это объясняет, почему синусоиды особенные. У физиков тоже есть собственная точка зрения, и ее стоит понять. Для физика самое замечательное в синусоидах (в контексте задач о колебаниях и теплопередаче) то, что они образуют стоячие волны . Они не двигаются вдоль по струне или стержню, а остаются на месте. Они колеблются вверх-вниз, но никогда не распространяются. Еще более примечательно, что стоячие волны колеблются с единственной частотой [295]. Это редкость в мире волн. Большинство волн – это сочетание многих частот, так же как белый свет – сочетание всех цветов радуги. В этом отношении стоячая волна – это чистая волна, а не смесь.

Теплый звук гитары и жалобное звучание скрипки связаны с колебаниями, возникающими в деке и корпусе инструмента, в древесине и во внутренних полостях, где звуковые волны колеблются и резонируют. Эти схемы колебаний определяют качество и голос инструмента. Именно это делает творения Страдивари такими особенными – его выразительные уникальные схемы колебаний в древесине и воздухе. Мы до сих пор в точности не знаем, почему одни скрипки звучат лучше других, но ключевым соображением должны быть способы вибрации.

В 1787 году немецкий физик и создатель музыкальных инструментов Эрнст Хладни опубликовал статью, рассказывающую о любопытном способе визуализации этих вибраций. Вместо того чтобы использовать сложные формы (скрипки или гитары), он играл на гораздо более простом инструменте – тонкой металлической пластине, проводя по ее краю скрипичным смычком. При этом он смог заставить пластину вибрировать и звучать (немного похоже на то, как можно заставить звучать наполовину наполненный бокал, проводя пальцем по его ободку). Чтобы визуализировать колебания, Хладни насыпал на пластину мелкий песок. Когда смычок заставлял пластину колебаться, песок слетал с наиболее активно колеблющихся частей и оседал на тех, которые вообще не вибрировали. Получающиеся кривые линии назвали фигурами Хладни [296], [297].

Изображение воспроизведено с любезного разрешения Родриго Тецуо Аржентона

Возможно, вы видели демонстрацию фигур Хладни в музеях науки. Металлическую пластину помещают на громкоговоритель, покрывают песком, а затем приводят в движение генератор звукового сигнала. Поскольку частота звука в громкоговорителе регулируется, пластина может вибрировать в различных резонансных режимах. Каждый раз, когда громкоговоритель переходит на новую резонансную частоту, песок перестраивается в другую фигуру. Пластина делится на соседние области, которые колеблются в противоположных направлениях и разделены узловыми линиями, где она остается неподвижной.

Вероятно, вам кажется странным, что некоторые части пластины не двигаются. Но это не должно удивлять. То же самое мы видели у синусоидальных волн на струне. Точки, в которых струна не двигается, – это узлы колебаний. На пластине есть аналогичные узлы, только здесь это не отдельные точки: они соединены между собой, образуя узловые прямые и кривые линии. Это и есть кривые, обнаруженные Хладни в своих экспериментах. В то время они считались настолько удивительными, что ученого пригласили показать их самому императору Наполеону. Наполеон обладал достаточными знаниями в области математики и техники и был настолько заинтригован, что объявил конкурс и призвал величайших математиков Европы объяснить причину появление этих узоров.

Необходимой математической теории в то время еще не было. Выдающийся ученый Жозеф Лагранж полагал, что эта проблема недостижима и никому не под силу с ней справиться. Действительно, за нее решил взяться всего один человек. Это была Софи Жермен [298].

Софи Жермен самостоятельно изучила математику в юном возрасте. Она родилась в состоятельной семье и увлеклась математикой, прочитав книги об Архимеде из библиотеки отца. Когда родители узнали, чем дочь занимается по ночам, они стали забирать у нее свечи и даже ночные рубашки. Но Софи не сдавалась: закутывалась в одеяла и работала при свете украденных свечей. В конце концов семья смирилась и дала свое благословение.

Софи Жермен, как и всем женщинам той эпохи, не разрешалось посещать университет, поэтому она продолжала заниматься самообразованием, иногда получая записи лекций из соседней Политехнической школы на имя Антуана-Огюста Леблана – учащегося, который оттуда ушел. Не подозревая о его решении, руководство школы продолжало печатать для него конспекты лекций и наборы задач. Софи сдавала работы от его имени, пока один из преподавателей, великий ученый Лагранж, не обратил внимание на заметное улучшение прежде ужасной успеваемости месье Леблана. Лагранж пожелал с ним встретиться и был крайне восхищен и удивлен, узнав, кто на самом деле скрывается за этим именем. Он взялся опекать Жермен.

Первые достижения девушки относились к теории чисел: она внесла важный вклад в одну из самых сложных нерешенных проблем – великую теорему Ферма. Когда Жермен почувствовала, что совершила прорыв, она написала крупнейшему в мире специалисту по теории чисел (и одному из величайших математиков всех времен), Карлу Гауссу, снова воспользовавшись псевдонимом Антуан Леблан. Гаусс восхищался своим загадочным корреспондентом, и в течение трех лет они вели оживленную переписку. Ситуация омрачилась в 1806 году, когда армия Наполеона оккупировала немецкий город Брауншвейг, где жил Гаусс. Опасаясь за жизнь ученого, Софи Жермен попросила друга своей семьи, генерала Жозефа Мари де Пернети, позаботиться о безопасности Гаусса. Когда ученый узнал, что обязан своей безопасностью некой неизвестной ему мадемуазель Софи Жермен, он был озадачен, так как у него не было знакомых с таким именем. Спустя три месяца Жермен в письме раскрыла свое имя. Гаусс был ошеломлен, узнав, что переписывался с женщиной. Признавая всю глубину ее идей и прекрасно понимая, какие предрассудки и преграды ей пришлось преодолевать, он признал, что «несомненно, она должна обладать величайшим мужеством, весьма необычайными талантами и превосходным гением» [299].