Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Поэтому, когда Софи услышала о конкурсе по решению загадки фигур Хладни, она приняла вызов. Она оказалась единственным, достаточно смелым человеком, который попытался разработать всю необходимую теорию с нуля. Ее решение включало создание нового раздела механики – теории упругости для плоских тонких двумерных пластин, что выходило далеко за рамки предыдущих более простых теорий для одномерных струн и стержней. Она построила свою теорию на принципах силы, смещений и кривизны и использовала методы анализа, чтобы выписать и решить соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных для колеблющихся пластин Хладни и чудесных узоров, которые на них появлялись. Однако пробелы в знаниях и нехватка формального образования привели к недостаткам в решении, которые обнаружили судьи. Они посчитали, что задача решена не полностью, и продлили конкурс еще на два года, а затем еще на два. С третьей попытки Жермен таки получила награду парижской Академии наук, став первой женщиной, удостоившейся такой чести.

Микроволновые печи

Фигуры Хладни позволяют наглядно представить стоячие волны в двух измерениях. В повседневной жизни мы имеем дело с трехмерным аналогом фигур Хладни каждый раз, когда пользуемся микроволновой печью [300]. Внутри печи находится трехмерное пространство, и когда вы включаете ее, оно наполняется стоячими волнами. Хотя вы не можете увидеть эти электромагнитные колебания воочию, их можно визуализировать косвенно – подобно тому как Хладни делал это с помощью песка.

Возьмите тарелку, предназначенную для микроволновой печи, и покройте ее полностью тонким слоем мягкого тертого сыра (или используйте что-нибудь иное, что будет лежать ровно и легко плавиться, например тонкую плитку шоколада или кондитерскую посыпку маршмеллоу). Перед тем как ставить тарелку в печь, обязательно выньте вращающийся столик. Это важно, потому что тарелка с сыром (или с чем-то иным) должна стоять неподвижно, чтобы можно было обнаружить горячие точки. Как только вы все это сделаете, включите микроволновую печь на тридцать секунд, не больше. Затем выньте тарелку. Вы увидите места, где сыр расплавился полностью – это горячие точки. Они соответствуют пучностям микроволн – местам, где колебания имеют наибольшую амплитуду, то есть особенно сильны. Они похожи на гребни и впадины синусоидальной волны или те места на пластине в опыте Хладни, где песка нет (поскольку сильные колебания его стряхнули).

В случае стандартной микроволновой печи, которая создает частоту 2,45 ГГц (то есть волны колеблются с частотой 2,45 миллиарда раз в секунду), вы должны обнаружить, что расстояние между соседними расплавленными местами составляет примерно 2,5 дюйма, или 6 сантиметров. Имейте в виду, что это расстояние между пиком и впадиной, то есть только половина длины волны. Чтобы получить полную длину, эту величину нужно удвоить. Таким образом, для стоячих волн в микроволновой печи длина волны составляет примерно 5 дюймов, или 12 сантиметров.

Кстати, с помощью микроволновой печи вы можете вычислить скорость света. Умножьте частоту колебаний (она указана на раме дверцы) на длину волны, которую вы измерили в своем эксперименте, и получите скорость света или величину, близкую к ней. Вот как это будет выглядеть для приведенных мною чисел. Частота – 2,45 ГГц. Длина волны – 12 сантиметров. Умножив эти числа, получаем 29,4 миллиарда сантиметров в секунду. Довольно близко к принятому значению скорости света – около 30 миллиардов сантиметров в секунду. Весьма неплохо для столь грубого измерения!

Как микроволновые печи связаны с радарами

В конце Второй мировой войны компания Raytheon Company искала новые сферы применения для своих магнетронов – мощных электронных ламп, используемых в радарах. Магнетрон – это электронный аналог свистка. Так же как свисток излучает звуковые волны, магнетрон излучает волны электромагнитные. Они могут отражаться от летящего самолета, и тогда можно определить расстояние до него и его скорость. Сегодня радары используются для отслеживания движения чего угодно – от судов и автомобилей до бейсбольных мячей, теннисных подач и погодных явлений.

Однако после войны, в 1946 году, Raytheon Company не знала, что делать со всеми магнетронами, которые производила. Но однажды инженер Перси Спенсер заметил, что, пока он работал с магнетроном, шоколадный батончик у него в кармане превратился в липкую массу. Он понял, что микроволны могут эффективно разогревать пищу. Чтобы изучить эту идею, он попробовал направить магнетрон на яйцо, помещенное в чайник, и оно взорвалось прямо в лицо одному из его коллег. Спенсер также продемонстрировал, что таким способом можно изготавливать попкорн. Связь между радаром и микроволновой печью дала название первой модели микроволновой печи – Radarange [301]. До конца 1960-х годов идея не пользовалась коммерческим успехом. Первые микроволновые печи были слишком большими (почти 6 футов, около 1 метра 80 сантиметров, в высоту) и очень дорогими – эквивалент десятков тысяч долларов в пересчете на нынешние деньги. Но со временем микроволновые печи стали достаточно миниатюрными и дешевыми для того, чтобы их могли себе позволить обычные семьи. Сегодня в промышленно развитых странах они есть как минимум у 90 % семей.

История ра дара и микроволновых печей – свидетельство взаимосвязанности наук. Подумайте о том, что сюда вошло: физика, электротехника, материаловедение, химия и старое доброе случайное изобретение. Не последнюю роль сыграл и анализ. Он предоставил язык для описания волн и инструменты для их изучения. Волновое уравнение, которое появилось в связи с колеблющимися струнами в музыке, использовал Максвелл для предсказания существования электромагнитных волн. А оттуда недалеко было до электронных ламп, транзисторов, компьютеров, радаров и микроволновых печей. При этом незаменимыми оказались методы Фурье. И, как мы вскоре увидим, его методы сыграли определенную роль в появлении нового способа применения высокоэнергетических электромагнитных волн. Эти гораздо более энергичные волны были случайно обнаружены в самом конце XIX века. Никто не знал, что они собой представляют, поэтому в честь неизвестной величины их назвали икс-лучами. Иначе – рентгеновским излучением, в честь первооткрывателя.

Компьютерная томография и визуализация мозга

Микроволны хороши для разогревания пищи, но для заглядывания внутрь наших тел лучше приспособлены рентгеновские лучи. Они позволяют проводить неинвазивную диагностику переломов, трещин черепа и искривлений позвоночника. К сожалению, обычное рентгеновское излучение нечувствительно к слабым изменениям плотности тканей. Это ограничивает их полезность при изучении мягких тканей и органов. Более современная форма визуализации, называющаяся КТ-исследованием, или компьютерной томографией [302], в сотни раз чувствительнее обычных рентгеновских лучей. Ее точность произвела настоящую революцию в медицине.