Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Для меня это величайшая загадка всего: почему Вселенная постижима и почему анализ согласуется с ней? У меня нет ответа, но я надеюсь, что вы согласитесь: над этим стоит подумать. А сейчас позвольте мне представить три последних примера сверхъестественной эффективности анализа.

Первый пример возвращает нас к тому, с чего мы начинали, – к замечанию Ричарда Фейнмана, что анализ – это язык, на котором говорит Бог. Пример связан с собственной работой Фейнмана по расширению квантовой механики, которое называется квантовой электродинамикой, сокращенно КЭД [343]. КЭД – это квантовая теория, объясняющая взаимодействие света и материи. Она объединяет теорию электромагнетизма Максвелла, специальную теорию относительности Эйнштейна и квантовую теорию Гейзенберга и Шрёдингера. Фейнман был одним из главных создателей КЭД, и, рассмотрев его теорию, я могу понять, отчего он так восхищался анализом. Его теория переполнена им и по тактике, и по стилю. Она изобилует степенными рядами, интегралами, дифференциальными уравнениями и включает множество трюков с бесконечностью.

Еще важнее то, что это самая точная теория из когда-либо созданных [344]. С помощью компьютеров физики все еще занимаются суммированием рядов, возникающих в КЭД, используя так называемые диаграммы Фейнмана, чтобы делать прогнозы о свойствах электронов и других частиц. Сравнивая эти прогнозы с весьма точными экспериментальными измерениями, они показали, что теория согласуется с реальностью с точностью до восьми знаков после запятой, то есть лучше, чем одна стомиллионная .

Это причудливый способ сказать, что теория фактически верна. Всегда трудно найти удобные аналогии для осмысления таких больших чисел, но давайте я попробую представить это так: сто миллионов секунд – это 3,17 года, поэтому получить нечто с точностью до одной стомиллионной – все равно что планировать щелкать пальцами ровно 3,17 года и отсчитать это время с точностью до секунды без помощи часов.

В этом есть нечто удивительное с философской точки зрения. Дифференциальные уравнения и интегралы квантовой электродинамики – это творения человеческого разума. Разумеется, они базируются на экспериментах и наблюдениях, так что до определенной степени в них встроена реальность. Но тем не менее они – продукт воображения. Это не рабское подражание действительности. Это изобретения. И, что удивительно, выписывая какие-то каракули на бумаге и проводя определенные вычисления с помощью методов, аналогичных разработанным Ньютоном и Лейбницем, но усовершенствованных в реалиях XXI века, мы можем предсказать самые потаенные свойства природы, причем с точностью до восьми знаков! Ни один из прогнозов человечества не был таким точным, как прогнозы квантовой электродинамики.

Я думаю, это важное уточнение, поскольку оно опровергает расхожую фразу, что наука подобна религии и другим системам верований и что у нее нет особых прав на истину. Ну уж нет. Любая теория, которая согласуется с реальностью с точностью в одну стомиллионную, – это не просто вопрос веры или чьего-то мнения. Для этого не нужны восемь знаков после запятой. Множество теорий в физике оказались ошибочными. Но не эта. По крайней мере, пока. Несомненно, какие-то отклонения имеются, как и в любой теории, но она определенно близка к истине.

Второй пример сверхъестественной эффективности анализа связан с более ранним расширением квантовой механики. В 1928 году британский физик Поль Дирак [345]пытался найти способ согласовать специальную теорию относительности с основными принципами квантовой механики применительно к электрону, движущемуся со скоростью, близкой к скорости света. Он выдвинул теорию, которая показалась ему красивой. Дирак выбрал ее в основном исходя из эстетических соображений. У него не было для нее никаких конкретных эмпирических подтверждений, кроме ощущения художника, что красота – это признак истинности. Уже сами эти ограничения – совместимость с теорией относительности и квантовой механикой, а также математическая элегантность – сильно связывали ему руки. После борьбы различных теорий он нашел одну, которая отвечала его эстетическими пожеланиям. Иными словами, она определялась стремлением к гармонии. Как и любой хороший ученый, Дирак пытался проверить свою теорию, извлекая из нее прогнозы. А поскольку он был физиком-теоретиком, это означало использование анализа.

Когда он установил дифференциальное уравнение, которое сейчас известно как уравнение Дирака, и продолжил анализировать его в течение нескольких следующих лет, то обнаружил, что из него вытекает несколько поразительных прогнозов. Первый – существование антивещества , другими словами, частицы, эквивалентной электрону, но с положительным зарядом. Сначала он думал, что частица может быть протоном, но от этой идеи пришлось отказаться, поскольку масса предсказанных частиц была почти в две тысячи раз меньше, чем у протона [346]. Такая маленькая положительно заряженная частица не была известна. И все же уравнение предсказывало ее существование. Дирак назвал ее антиэлектроном. В 1931 году он опубликовал статью, в которой предсказал, что когда эта еще не выявленная частица столкнется с электроном, они аннигилируют [347]. «Это не требует никаких изменений в формальном изложении при использовании абстрактных символов, – писал он и сухо добавлял: – При таких обстоятельствах было бы удивительно, если бы Природа не воспользовалась этим» [348].

В следующем году физик-экспериментатор Карл Андерсон в ходе изучения космических лучей увидел странный след в камере Вильсона. Какая-то частица двигалась по изогнутому пути, как электрон, но траектория изгибалась в противоположном направлении, словно у нее был положительный заряд. Он не знал о предсказании Дирака, но понял смысл увиденного [349]. Когда Андерсон опубликовал статью об открытии в 1932 году, редактор предложил назвать частицу позитроном. Название прижилось. Дирак получил Нобелевскую премию за свое уравнение в 1933 году, Андерсон был награжден за открытие позитрона в 1936-м.

С тех пор позитроны начали спасать жизни. Они лежат в основе ПЭТ – позитронно-эмиссионной томографии [350], метода медицинской визуализации, позволяющего врачам видеть области аномальной метаболической активности в мягких тканях головного мозга или других органов. Неинвазивным образом, не требующим хирургического вмешательства или иного опасного проникновения в череп, ПЭТ может помочь обнаружить опухоли в мозге и амилоидные бляшки, связанные с болезнью Альцгеймера.

Таков еще один прекрасный пример полезного и практичного использования анализа. Поскольку анализ – это язык Вселенной, а также логический механизм для извлечения ее секретов, Дирак смог написать дифференциальное уравнение для электрона, которое сообщило ему нечто новое, истинное и красивое о природе. Это натолкнуло его на мысль о новой частице и вероятности ее существования. Этого требовали логика и красота. Но не сами по себе – они должны были согласовываться с известными фактами и подходить под известные теории. Когда все это было соединено, картина выглядела почти так, как если бы сами символы привели к существованию позитрона.