Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

В связи ограничениями, накладываемыми на вычитание чисел, необходимо ввести действия сравнения чисел между собой, чтобы иметь возможность определить, выполнимо ли вычитание для определенной пары взятых чисел. Учитывая упорядоченность натурального ряда чисел по возрастанию, для любой пары чисел a и b можно сделать одно из трех заключений: a < b , a > b , a = b .

Действие, с которым больше всего проблем на множестве натуральных чисел – это действие деления натуральных чисел, так как выполнимо оно не всегда, и определение возможности деления одного числа на другое не выходя за рамки натуральных чисел, не такое простое действие как для вычитания. Существует целый ряд признаков делимости, которые позволяют, не выполняя само деление, дать ответ возможно ли деление без остатка в принципе. Основные признаки делимости рассмотрим в разделе упражнений с натуральными числами.

Вернемся к единице. Единица единственное из натуральных чисел, которое порождает новые натуральные числа только при сложении, но не при умножении или возведении в степень. При умножении на единицу нового числа не получается, единица в любой степени остается единицей! У древних греков единица служила основой всех других натуральных чисел и с этим не поспоришь. Прибавление единицы к числу меняло его четность. Изменение четности числа от прибавления единицы можно посмотреть в одном очень интересном алгоритме. Алгоритм, позволяет за конечное число шагов-операций превратить любое натуральное число в единицу. Назовем его Алгоритм возвращения к началу . Алгоритм циклический, шаги повторяются до получения единицы. Берем произвольное натуральное число.

Шаг 1. Если взятое число четное, нужно разделить его на 2. Если число нечетное, перейти к шагу 2.

Шаг 2. Если число нечетное, нужно умножить его на 3 и прибавить 1. После чего перейти к шагу 3.

Шаг 3. Вернуться в начало алгоритма и повторять вышеописанные действия циклически, пока не получится единица.

Как видите, второй шаг превращает нечетное число в четное число в результате прибавления единицы. Возьмем произвольное двузначное число, например, 53. Число нечетное – выполняем шаг 2. Получаем 160 – возвращаемся и делаем шаг 1, получаем 80, продолжаем 40, 20, 10, 5. Снова шаг 2 – 16. Шаг 1: 8, 4, 2, 1. Казалось бы, при нечетности числа, умножая его на три, алгоритм будет уводить нас к большим числам, но нет, в конечном итоге приходим к единице. Считается, что по этому алгоритму любое число можно вернуть к «неделимой сущности», то есть, к единице. Ни один специалист по теории чисел пока не смог доказать, что такой алгоритм заканчивается единицей для любого первоначально взятого натурального числа. Второй, не выясненный вопрос, связанный с этим алгоритмом: почему для одних чисел последовательность получаемых значений короткая, а для других слишком длинная. Показанная выше последовательность имеет вид: 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Всего 12 чисел, включая начальное число и конечную единицу. Возьмем для примера число 25, значительно меньше 53, и выпишем получаемую последовательность чисел: 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Число меньше, а шагов больше в два раза. Теперь испытаем число 27, недалеко отстоящее от 25: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, … . Честно говоря, мне уже надоело, последовательность получается длинная-длинная. В ней встретится даже четырехзначное число больше девяти тысяч. В конечном итоге она придет к единице, но почему так долго, в чем отличие начальных чисел 25 и 27?

Если кто-то заинтересуется исследованием этого алгоритма и захочет поэкспериментировать с ним, то можно видоизменить второй шаг, делая в нем деление полученного четного числа на 2 и только потом возвращение к шагу 1. Это сократит ряд членов последовательности, приводящей к единице. Шаг 2. Если число нечетное, нужно умножить его на 3, затем прибавить 1 и результат поделить на 2. После чего перейти к шагу 3. Можно посмотреть, как изменится алгоритм, если на втором шаге умножать не на 3, а на другое простое нечетное число. Так уже на первых страницах повествования появились интересные и еще не решенные вопросы, которые ждут своих исследователей.

После лирического отступления с интересным алгоритмом вернемся к математическим операциям с натуральными числами. Все перечисленные ранее действия или операции называются бинарными (приставка би от слова два , по числу аргументов арифметической операции), так как в них всегда два исходных компонента: два слагаемых, уменьшаемое и вычитаемое, два сомножителя, делимое и делитель, основание и степень, два сравниваемых между собой числа. Для всех действий, кроме возведения в степень придуманы свои знаки операций, которые ставятся между исходными компонентами:

a + b ; a - b ; a · b ; a : b ; a b ; a < b ; a > b ; a = b .

Возведение в степень, аристократ среди действий с числами, показывается не с помощью специального знака, а особой позиционной записью a b . Аристократизм этого действия проявляется и в том, что у него, в отличие от сложения и умножения нет переместительного закона. От перестановки слагаемых сумма не меняется, от перестановки сомножителей не меняется произведение, но стоит поменять местами основание и показатель степени, и равенства нет:

2 3=8≠3 2=9; 5 4=625≠4 5=1024.

Правда в этом правиле есть одно исключение: 2 4=4 2=16.

Еще одно отличие действия возведения в степень от сложения и умножения в том, что у сложения и умножения есть ровно по одному обратному действию: для сложение – вычитание, для умножения – деление. Возведение в степень имеет два обратных действия: извлечение корня и вычисление логарифма. У действий, обратных возведению в степень, появляются свои знаки – радикал и логарифм, но о них мы не будем вести речь, так как их выполнимость на множестве натуральных чисел еще сильнее под вопросом, чем деление чисел.

Каждое обратное действие приводило к расширению понятия числа. Вычитание, чтобы быть замкнутой операцией, расширило множество натуральных чисел до чисел целых, которые включают в себя все натуральные числа, к ним еще добавляется ноль, и числа противоположные натуральным – отрицательные числа. Для замкнутости деления чисел пришлось снова расширять множество чисел, уже до чисел рациональных. Наконец, извлечение корня и вычисление логарифмов потребовали введения чисел иррациональных, которые вместе с рациональными числами составили множество действительных или вещественных чисел.

На множестве действительных чисел стали выполняться все перечисленные операции, но…захотелось извлекать корни четной степени из отрицательных чисел, и придумали числа комплексные. Думаете на этом остановились, как бы ни так. Есть еще числа гиперкомплексные. И все это тоже удивительно интересно, но мы не станем «растекаться мыслью по древу» и вернемся к числам натуральным.