Яков Перельман - Живой учебник геометрии

? ? 46 ? 85 + ? ? 462= 19 000 кв. см.

Для определения объема конуса вычисляем его высоту. Она равна

Объем конуса

1/3 ? ? ? 462 ? 71 = 160 000 куб. см.

121. Куча песку имеет форму конуса, окружность основания которого 14 м, а высота – 2 м. Сколько возов песку в этой куче? На воз идет 0,3 куб. м песку.

16 Р е ш е н и е. Радиус основания конической кучи =16/2? = 2,6 м. Площадь основания 5,1 кв. м, и, следовательно, объем кучи = 1/3 ? 5,1 ? 2 = 3,4 куб. м. В куче 11 с лишним возов.

122. Из цилиндра с диаметром основания 23 см и высотою 19 см надо выточить конус вчетверо меньшего объема с диаметром основания 20 см. Вычислить высоту конуса и угол при вершине.

Р е ш е н и е. Объем цилиндра = 1/4 ? ? ? 232? 18 = 7500 куб. см. Значит, объем конуса = 1900 куб: см. Его высота x определяется из уравнения 1/3 ? ? ? 102? x = 1900, откуда x = 18 см. Высота конуса должна равняться высоте цилиндра.

Тангенс половины угла при вершине равен =10/18 = 0,56, откуда искомый угол = 58°.

Шаром называется тело, которое можно представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра (черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр, называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD . Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.

Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN (черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ , полушар – PS , а конус – PK . Проведя радиус OS шара, имеем по теореме Пифагора [ OS ]2= [ OP ]2+ [ PS ]2.

Обозначим радиус основания цилиндра через R (он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PS через h , радиус сечения конуса – через k . Тогда OS = OR = R; OP = PK = k (потому что противолежащие углы = 45°); PS = h . Написанное выше представим в виде

R 2= k 2+ h 2.

Умножив все члены равенства на, имеем

R 2= k 2+ h 2.

Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [ R 2] равна площади сечения конуса [ k 2], сложенной с площадью сечения полушара [ h 2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.

Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно принять за цилиндры с высотою H . Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:

№ 1. . . . . ? R 2 H = ? k12H + ? h12H

№ 2. . . . . ? R 2 H = ? k22H + ? h22H

№ 3. . . . . ? R 2 H = ? k32H + ? h32H

№ 4. . . . . . . . . . . . . . .

Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц ; в сумме второго столбца – все слои конуса, [13] Не забудем, что слои могут быть сделаны сколь угодно тонкими, так как плоскостей неограничено. т. е. его объем Vк , а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш . Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.

Так как объем цилиндра vц = ? R 2? R = ? R 3, а объем конуса 1/3? R 2? R = 1/3? R3 , то полученное сейчас равенство можно представить в виде ? R 3= 1/3? R 3+ Vпш , откуда объем полушара V = ? R 3– 1/3? R 3 =2/3? R 3, а объем полного шара V = 4/3? R 3.

Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить R через d/2, где d – диаметр. Получим V = 4/3? d3/8= 1/6?d3

Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.

Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.

Объем одной такой пирамиды равен 1/3 площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то за площадь S их основания можно принять соответствующий участок а поверхности шара, а за высоту – радиус шара R . Тогда объемы наших пирамид выразятся последовательно через

Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем V шара равен

v = 1/3 R [ a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + и т. д.].

Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность S шара. Значит, v = 1/3RS.

Мы узнали, следовательно, что

о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.

Отсюда выводим, что поверхность шара

S = V: 1/3 R = 3V/R

А так как мы уже узнали раньше, что v = 4/3? R3 , то поверхность шара S = 3 ? 4/3? R3: 4? R2

Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж е р а д и у с а.

Повторительные вопросы

Какое тело называется шаром? – Что называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?

Применения

123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.

Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4 ? 1/4 ? ? ? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.

124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?

Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем 1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6 ? ? ? 0,33= 0,014 куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок указанного диаметра.

125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?

Р е ш е н и е. Поверхности шаров относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров. Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного в 8 раз.