Яков Перельман - Живой учебник геометрии

126. «При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й, «Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.

Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают 0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого объема получаем из уравнения

1/6 ? ? ? x3=65, где x – диаметр в миллиметрах. Отсюда

Итак, крупная дождевая капля имеет в ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16 грамма) равен 6,7 миллиметра.

127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?

Р е ш е н и е. На то, что объем яблока при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделаем примерный расчет: вычислим какой избыток кожуры получается, когда яблоко диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4 миллиметра по диаметру. 4? ? 402– 4? ? 382= 4? [402– 382] = 4? ? 78 ? 2 = 2000 кв. мм, или 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см.

Мы знаем (из § 70), что площади подобных фигур относятся, как квадраты их линейных размеров. То же правило верно и для поверхностей подобных тел (т. е. таких тел, которые при одинаковой форме имеют различные размеры). Это значит, что

п о в е р х н о с т и п о д о б н ы х т е л о т н ос я т с я, к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Если у нас два подобных конуса (имеющие равные углы при вершине), и высота первого в 3 раза больше высоты другого, то поверхность первого в 9 раз больше поверхности другого.

Применения

128. В «Путешествии Гулливера» рассказывается о лилипутах, рост которых в 12 раз меньше нормального. Если на костюм человека нормального роста идет 4 кв. метра материала, то сколько материала идет на костюм лилипута?

Р е ш е н и е. В 122, т. е. в 144 раза меньше.

40 000 кв. см: 144 = 280 кв. см.

129. Один человек на 1/4 ниже другого. Каково отношение поверхностей их тел, считая что оба тела геометрически подобны?

Р е ш е н и е. Поверхность человека меньшего роста состоляет

поверхности более высокого.

Как относятся между собою о б ъ е м ы подобных тел? Чтобы установить это соотношение» будем рассуждать так. Вообразим два подобных тела (безразлично какой формы). Пусть линейные размеры первого тела в 10 раз меньше линейных размеров второго тела. Рассечем мысленно первое тело тремя рядами параллельных плоскостей на миллиметровые кубики, а второе тело такими же плоскостями на сантиметровые кубики. Так как все линейные размеры первого тела содержат столько миллиметров, сколько размеры второго тела – сантиметров, то объем первого тела заключает в себе столько же миллиметровых кубиков, сколько объем второго тела заключает кубиков сантиметров. Число кубиков в объеме обоих тел одинаково, только каждый кубик первого тела меньше каждого кубика второго тела в 10 10 10, т. е. в 1000 раз. Во столько же раз, конечно, и объем первого тела меньше объема второго тела. Если бы первое тело имело линейные размеры не в 10, а в 3 или в 7? раза меньше, чем размеры второго, то объемы их относились бы как 1: 33или как

Вообще

о б ъ е м ы п о д о б н ы х т е л о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю, к а к к у б ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Поэтому, например, уменьшенная модель изделия, все линейные размеры которого в 6 раз меньше размеров самого изделия, имеет объем в 63, т. е. в 216 раз меньше. Если модель сделана из того же материала, как и изделие, то она весит в 216 раз меньше изделия.

Применения

130. Самовар, окружность которого 55 см, вмещает 42 стакана. Сколько стаканов вмещает самовар такого же фасона, окружность которого 44 см?

Р е ш е н и е. Меньший самовар вмещает

131. Какие яйца выгоднее покупать: 60-миллиметровые (длина) по 1 рублю десяток, или 55-миллиметровые по 75 копеек?

Р е ш е н и е. Объем меньшего яйца (т. е. количество питательных веществ в нем), считая форму обоих яиц одинаковою, меньше объема крупного яйца в отношении 553: 603= 0,71. Следовательно, меньшие яйца должны были бы продаваться по цене 71 коп, а не 75 коп. Крупные яйца в данном случае дешевле.

132. Средний палец гранитной статуи Мемнона в Египте имеет в длину 138 см. Зная, что гранит в 3 раза тяжелее человеческого тела, определить, сколько весит эта статуя.

Р е ш е н и е. Измерением находим длину среднего пальца человека – около 8 см. Следовательно, объем статуи превосходит объём человеческого тела в

раз. Человек весит около 60 килограммов; сделанный из гранита в натуральную величину, он весил бы 60 3 = 180 кг. Следовательно, статуя Мемнона весит

Таблица

Таблица

В предлагаемом курсе всего 60 теорем.

Сведения из арифметики, которые должны быть предварительно усвоены: обыкновенные дроби, их сокращение, действия с обыкновенными дробями, превращение их в десятичные.

Это значит, что один маляр выполнит эту работу в 4,2 дня,

Далее мы прибегаем к равенству вида ху + xz = x(у + z). Оно вытекает из того, что умножить каждое слагаемое на какое-нибудь число значит умножить сумму; напр. 7 ? 3+8 ? 3 – (7 + 8) ? 3.

О других способах определения площади многоугольника, применяемых в землемерии, будет сказано далее, в главе «Занятия на открытом воздухе».

Сведения из алгебры, которые должны быть предварительно усвоены: буквенное обозначение, понятие о степени, нахождение стороны квадрата по данной площади подбором чисел и по таблицам, употребление скобок, вычисление по формулам.