Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Предположим, например, что мы интерпретируем по-новому лишь символ r, оставляя все остальные символы без изменения; в частности, символ rбудет означать «больше или равно». Теперь наши «противоречивые» теоремы -p-r-и -p-r-- звучат совершенно безобидно: «1 плюс 1 больше или равно 1» и «1 плюс 1 больше или равно 2». Мы одновременно избавились от противоречий (1) с окружающим миром и (2) внутри системы. К тому же, наша новая интерпретация значима , в то время как прежняя не имела смысла. Я имею в виду, что она не имела смысла в новой системе — в нашей первоначальной системе prона работала превосходно. Пытаться же использовать ее в новой системе так же глупо, как использовать интерпретацию «лошадь-яблоко-счастливая» в старой системе pr.

Несмотря на мои попытки застать вас врасплох и сбить с толку, этот урок по интерпретации символов при помощи слов, возможно, не показался вам слишком трудным, как только вы поняли, в чем тут дело. Действительно, это несложно. Однако это было одним из глубочайших прозрений математики девятнадцатого века! Все началось с Эвклида, который около 300 года до нашей эры собрал и систематизировал все, что было известно о геометрии в то время. Получившийся труд оказался таким солидным, что в течение более чем двух тысячелетий он практически считался библией геометрии — одна из наиболее «долголетних» работ! Почему так получилось?

Основная причина в том, что Эвклид был основоположником строгости в математических рассуждениях. Его «Элементы» начинаются с простых понятий, определений и так далее; при этом постепенно накапливается множество результатов, организованных таким образом, что каждый данный результат строго основан на предыдущих. В результате, работа имела определенный план, архитектуру, делавшую ее мощной и прочной.

Однако эта архитектура весьма отличалась от, скажем, архитектуры небоскреба. (См. рис. 21.) В последнем случае, сам факт того, что небоскреб стоит и не падает, доказывает, что его структура «правильна». С другой стороны, в книге по геометрии, где предполагается, что каждое утверждение логически следует из предыдущих, одно ошибочное доказательство не вызовет видимого краха всей структуры. Перекладины и подпорки здесь не физические, а абстрактные. На самом деле, в Эвклидовых «Элементах» доказательства были построены из весьма капризного материала, полного скрытых ловушек. Этим материалом был человеческий язык. Как же в таком случае быть с архитектурной мощью «Элементов»? Верно ли, что они основаны на прочной структуре, или же в ней есть некие изъяны?

Рис. 21. М. К. Эшер «Вавилонская башня» (гравюра на дереве, 1928)

Каждое слово, которое мы произносим, имеет определенный смысл, диктующий нам, как это слово использовать. Чем обычнее слово, тем больше ассоциаций связано с ним и тем глубже укоренилось в нас его значение. Таким образом, когда кто-то пытается дать определение какому-либо употребительному слову, в надежде на то, что все мы с этим определением согласимся, обычно происходит следующее: вместо того, чтобы принять данное нам определение, мы, по большей части бессознательно, предпочитаем руководствоваться ассоциациями, хранящимися на «складе» нашего мозга. Я упоминаю об этом потому, что именно с такой проблемой столкнулся Эвклид, пытаясь дать определения таких обыденных слов как «точка», «прямая линия», «круг» и так далее. Как можно определить нечто, о чем у каждого уже есть вполне сформировавшаяся идея? Единственный способ заключается в том, чтобы указать, что ваше слово — технический термин, который не должно путать с обычным, повседневным словом. Необходимо подчеркнуть, что связь с обычным значением слова здесь лишь кажущаяся. Эвклид этого не сделал, так как он был убежден в том, что точки и прямые в его «Элементах» были, на самом деле, точками и прямыми реального мира. Эвклид не предостерег читателей от ложных ассоциаций, тем самым пригласив их к свободной игре воображения…

Это звучит почти анархично и, пожалуй, немного несправедливо по отношению к Эвклиду — ведь он установил аксиомы или постулаты, которые должны были использоваться при доказательстве утверждений. На самом деле, он считал, что доказательства должны были быть основаны исключительно на этих аксиомах и постулатах. К несчастью, именно здесь и случилась осечка! Неизбежным следствием использования ординарных слов явилось то, что некоторые вызванные этими словами ассоциации проникли и в Эвклидовы доказательства. Однако не думайте, что, читая «Элементы», вы найдете там зияющие «провалы» в рассуждениях. Напротив, ошибки там почти незаметны, поскольку Эвклид был слишком глубоким и проницательным мыслителем, чтобы допускать элементарные промахи. Тем не менее, в его рассуждениях все-таки есть «прорехи» — небольшие дефекты в классическом труде. Однако вместо того, чтобы жаловаться, мы можем выучить кое-что новое о разнице между абсолютной и относительной строгостью математических рассуждений. На самом деле, именно отсутствие абсолютной строгости в работе Эвклида явилось причиной многих плодотворных открытий в математике более чем через две тысячи лет после того, как он написал свой труд.

Эвклид привел пять постулатов, легших в фундамент бесконечного небоскреба геометрии (Эвклидовы «Элементы» составили лишь первые несколько сотен этажей этого небоскреба). Четыре первые постулата кратки и элегантны:

(1) Любые две точки могут быть соединены отрезком прямой;

(2) Любой отрезок прямой может быть продолжен бесконечно и превращен в прямую линию;

(3) На основе любого отрезка прямой можно нарисовать круг, принимая этот отрезок за радиус и один из его концов — за центр круга;

(4) Все прямые углы конгруэнтны.

Пятый постулат далеко не так грациозен:

(5) Если две прямые пересекают третью так, что сумма внутренних углов с одной стороны меньше двух прямых углов, то это прямые рано или неизбежно пересекутся на этой стороне.

Хотя Эвклид нигде не сказал об этом прямо, он считал свой пятый постулат в каком-то смысле хуже других, поскольку он нигде не использовал его в доказательстве первых двадцати восьми утверждений. Таким образом, мы можем сказать, что эти утверждения составляют так называемую «геометрию четырех постулатов» — ту часть геометрии, которая может быть выведена на основе первых четырех постулатов «Элементов», без помощи пятого. (Ее также часто называют абсолютной геометрией .) Безусловно, Эвклид предпочел бы найти доказательство этого «гадкого утенка», но за неимением такового, утенка пришлось принять на веру…