Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

На самом деле, эллиптическую геометрию нетрудно представить зрительно. Все «точки», «линии» и т. д. должны быть частью поверхности обыкновенной сферы. Давайте условимся писать «ТОЧКА» когда имеется в виду технический термин, и «точка» — когда речь идет о повседневном значении. Мы можем сказать что ТОЧКА состоит из пары диаметрально противоположных точек на поверхности сферы. ЛИНИЯ — это большой круг на сфере (круг, центр которого, как и центр экватора, совпадает с центром самой сферы). В этой интерпретации утверждения эллиптической геометрии, хотя и содержат такие слова как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ», описывают происходящее на сфере, а не на плоскости. Обратите внимание, что две ЛИНИИ всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках — а значит, в одной ТОЧКЕ! И, точно так же как две ЛИНИИ определяют ТОЧКУ, две ТОЧКИ определяют ЛИНИЮ.

Считая, что значения таких слов как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ» полностью зависят от утверждений, в которых эти слова встречаются, мы делаем шаг к полной формализации геометрии. Эта полуформальная версия еще употребляет множество слов русского языка в их обыденном значении ( «и», «если», «имеет», «соединяет» и т. п.), однако такие слова как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ» своего обыденного значения здесь лишены — поэтому мы называем их неопределяемые понятия . Неопределяемые понятия, такие как p и r системы pr, в каком-то смысле определены косвенно , — совокупностью всех утверждений, в которых они встречаются, — скорее чем прямо, в некоем определении.

Можно было бы утверждать, что полное определение неопределяемых понятий находится только в постулатах, так как там уже содержатся все вытекающие из них утверждения. Подобная точка зрения означала бы, что постулаты являются косвенными определениями всех неопределяемых понятий, поскольку те получают определение через какие-либо другие понятия.

Полная формализация геометрии означала бы, что каждый термин превратился бы в неопределяемое понятие, то есть стал бы «бессмысленным» символом какой-либо формальной системы. Я заключил слово «бессмысленный» в кавычки, поскольку, как вы знаете, символы автоматически приобретают различные пассивные значения, зависящие от теорем, в которых эти символы встречаются. Однако обнаружат ли люди эти значения — это уже другой вопрос, так как для этого необходимо найти такое множество понятий, которое может быть связано изоморфизмом с символами данной формальной системы. По идее, желая формализовать геометрию, мы обычно уже имеем в виду определенную интерпретацию для каждого символа, так что пассивные значения оказываются уже встроенными в систему. Именно это я и сделал с символами pи r, когда придумывал систему pr.

Но ведь могут существовать и другие пассивные значения, которые, в принципе, возможно подметить — только до сих пор еще никто этого не сделал! Например, первоначальная система prдопускала довольно неожиданную интерпретацию rкак «равняется» и pкак «отнятое от». Хотя это довольно тривиальный пример, он неплохо передает суть идеи о том, что символы могут иметь множество значимых интерпретаций; искать их — дело наблюдателя!…

Все, что мы до сих сказали, может быть сведено к понятию «непротиворечивости». Мы начали с введения формальной системы, которая, на первый взгляд, не только находилась в противоречии с внешним миром, но и имела внутренние противоречия. Однако через несколько минут нам пришлось взять эти «обвинения» обратно и признать свою ошибку; оказывается, дело было в том, что мы выбрали неудачную интерпретацию для символов системы. Изменив интерпретацию, мы вернули системе ее непротиворечивость! Становится ясно, что непротиворечивость — не свойство формальных систем как таковых, но зависит от интерпретации, предложенной для данной системы. Совершенно так же не является свойством формальных систем как таковых и противоречивость.

Все это время мы говорили о «непротиворечивости» и «противоречивости», не давая определений этим понятиям. При этом мы опирались на старый добрый здравый смысл. Давайте теперь точно определим, что имеется в виду под непротиворечивостью формальной системы (вместе с ее интерпретацией). Это означает, что каждая теорема, будучи интерпретирована, становится истинным утверждением. С другой стороны, если среди интерпретированных теорем найдется хоть одно ложное утверждение, мы говорим о противоречивости данной системы.

Это определение говорит нам о противоречивости по отношению к внешнему миру — а как насчет внутренних противоречий? По идее, система была бы внутренне противоречива, если бы она содержала по крайней мере две теоремы, чьи интерпретации были бы несовместимы друг с другом, и непротиворечива, если бы все теоремы были совместимы между собой. Рассмотрим, например, формальную систему, имеющую только следующие три теоремы: ЧвЗ, ЗвЭ и ЭвЧ. Если Ч интерпретируется как «Черепаха», З — как «Зенон», Э — как «Эгберт» и x в y — как x всегда выигрывает в шахматы у « y» , то мы имеем следующие интерпретированные теоремы:

Черепаха всегда выигрывает в шахматы у Зенона.

Зенон всегда выигрывает в шахматы у Эгберта.

Эгберт всегда выигрывает в шахматы у Черепахи.

Эти утверждения нельзя назвать несовместимыми, хотя они и описывают довольно странную компанию шахматистов. Таким образом, в этой интерпретации формальная система, в которой эти три строчки являются теоремами, внутренне непротиворечива, хота на самом деле ни одна из ее теорем не является истинной! Внутренняя непротиворечивость требует от теорем не того, чтобы все они были истинными, а лишь того, чтобы все они были совместимы друг с другом.

А теперь давайте предположим, что x в y интерпретируется как « x был изобретен y ». Тогда у нас было бы:

Черепаха была изобретена Зеноном

Зенон был изобретен Эгбертом

Эгберт был изобретен Черепахой

В этом случае неважно, какие из отдельных высказываний истинны — а может быть, вообще нельзя установить, какие из них истинны и какие ложны. Однако мы можем с уверенностью сказать, что все три высказывания не могут быть истинными одновременно. Таким образом, данная интерпретация делает систему внутренне противоречивой. Противоречие здесь зависит не от интерпретации заглавных букв, а от интерпретации ви от того, как заглавные буквы передвигаются по кругу вокруг в.Следовательно, можно говорить о внутренней противоречивости, не интерпретируя всех символов системы. (В данном случае хватило интерпретации одного-единственного символа) Возможно, что интерпретировав достаточное количество символов, мы уже ясно увидим, что никакая дальнейшая интерпретация не сделает все теоремы истинными. Дело здесь, однако, не только в истине, а в возможности. Все три теоремы оказались бы ложными, если бы мы интерпретировали заглавные буквы как имена реальных персонажей, однако мы называем систему внутренне противоречивой по другой причине. Мы основываем наше суждение на интерпретации буквы вв сочетании с кругообразностью (Еще кое-что об этом «авторском треугольнике» вы найдете в главе XX).