Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Мы привели два взгляда на непротиворечивость: первый утверждает, что система вместе с ее интерпретацией непротиворечива по отношению к внешнему миру , когда любая из ее интерпретированных теорем оказывается истинной. Другой говорит нам, что система вместе с ее интерпретацией внутренне непротиворечива , когда все ее теоремы, будучи интерпретированы, совместимы друг с другом . Эти два типа непротиворечивости тесно связаны. Чтобы определить совместимы ли друг с другом несколько высказываний, мы пытаемся представить себе такой мир, в котором все они могут быть истинными одновременно. Таким образом, внутренняя непротиворечивость зависит от непротиворечивости с внешним миром — только теперь «внешний мир» может быть любым воображаемым миром , вместо того, в котором мы живем. Однако это весьма неопределенное и неудовлетворительное заключение. Что составляет такой «воображаемый мир»? В конце концов, возможно вообразить и такой мир, в котором три героя изобретают друг друга по очереди. Или нет? Возможно ли вообразить мир, в котором есть квадратные круги? Или мир, в котором действительны законы Ньютона, а не законы относительности? Возможно ли вообразить такой мир, в котором что-то было бы одновременно зеленым и не зеленым? Или мир, в котором животные не сделаны из клеток? Мир, в котором Бах сымпровизировал восьмиголосную фугу на тему короля Фридриха Великого? В котором комары умнее людей? В котором Черепахи умеют играть в футбол и говорить? Разумеется, Черепаха, говорящая о футболе, была бы аномалией.

Некоторые из этих миров кажется легче вообразить, чем другие, так как некоторые из них включают логические противоречия — например, зеленый и не зеленый — в то время как другие кажутся, за неимением лучшего слова, возможными, сюда например, относятся Бах, импровизирующий восьмиголосную фугу, или животные, состоящие не из клеток. Или даже такие миры, в которых законы физики отличаются от наших… Пожалуй, можно сказать, что имеются разные типы непротиворечивости. Например, самым широким был бы «логически непротиворечивый» класс, так как для вхождения в него не существует никаких ограничений, кроме логических. Система является логически непротиворечивой , когда никакие из ее двух теорем, будучи интерпретированы как суждения, прямо не противоречат одна другой; математически непротиворечивой , когда интерпретированные теоремы не нарушают законов математики и физически непротиворечивой , когда интерпретированные теоремы совместимы с законами физики. За этим следует биологическая непротиворечивость и так далее. В биологически непротиворечивой системе может существовать теорема, интерпретация которой — суждение «Шекспир написал оперу», но не теорема, интерпретируемая как «Существуют неклеточные животные». Подобные причудливые типы противоречивости никто не изучает, так как их весьма сложно различить. Какая именно противоречивость заключена в задаче о трех героях, изобретающих друг друга по кругу? Логическая? Физическая? Биологическая? Литературная?

Обычно граница между интересным и неинтересным проводится между физической и математической непротиворечивостью. (Разумеется, эту линию проводят сами математики и физики — компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной!…) Это значит, что при рассмотрении формальных систем «учитываются» два типа противоречивости — математическая и логическая. В соответствии с этим критерием мы еще не нашли такой интерпретации, в которой тройка теорем ЧвЗ, ЗвЭ, ЭвЧ была бы противоречива. Для этого мы могли бы интерпретировать вкак «больше чем». Как насчет Ч, 3, и Э? Они могут быть интерпретированы, например, как 0, 2 и 11, соответственно. Обратите внимание, что таким образом две теоремы оказываются истинными, и одна — ложной. Если бы мы интерпретировали З как 3, у нас получилось бы две ложных и одна истинная теорема. Однако в обоих случаях система была бы противоречива. На самом деле неважно, какое значение мы придаем Ч, З и Э, если мы не выходим за пределы натуральных чисел. Здесь мы опять сталкиваемся со случаем, когда, для того чтобы обнаружить внутреннюю противоречивость, необходима лишь частичная интерпретация символов системы.

Предыдущий пример, в котором были интерпретированы только некоторые из символов, чем-то напоминает занятия геометрией на натуральном языке, когда мы используем некоторые слова как неопределяемые понятия. В таком случае слова делятся на два класса: те, чье значение неизменно и четко определено, и те, чье значение меняется до тех пор, пока система не станет непротиворечивой.(Последние и являются неопределяемыми понятиями). Такой подход к геометрии требует, чтобы слова первого класса уже имели определения, приобретенные вне геометрии. Эти слова формируют скелет системы, ее глубинную структуру, которая может быть затем наполнена различным материалом (эвклидова или неэвклидова геометрия).

Формальные системы часто строятся именно по такому последовательному или иерархическому типу. Например, можно придумать Формальную Систему I, с правилами и аксиомами, дающими некие пассивные значения ее символам. Эта Формальная Система I включается в более широкую систему с большим количеством символов — Формальную систему II. Поскольку правила и аксиомы Формальной Системы I являются частью Формальной Системы II, пассивные значения символов Формальной Системы I остаются в силе и формируют жесткий скелет, играющий важную роль в определении пассивных значений новых символов Формальной Системы II. Вторая система может, в свою очередь, являться скелетом для третьей системы, и так далее. Может также существовать система (например, абсолютная геометрия) которая частично дает пассивные значения своих неопределяемых понятий и которая может быть дополнена правилами и аксиомами, далее ограничивающими эти значения. Именно это и происходит в случае эвклидовой геометрии в сравнении с неэвклидовой.

Подобным иерархическим образом мы приобретаем новые знания, расширяем наш словарный запас или воспринимаем незнакомые предметы. Это особенно интересно, когда мы пытаемся понять картины Эшера, скажем, такие, как «Относительность» (рис. 22), где часто встречаются совершенно невозможные образы. Можно предположить, что в таком случае мы должны пытаться интерпретировать картину снова и снова, пока не найдем непротиворечивой интерпретации — однако мы поступаем совершенно иначе. Мы сидим перед картиной, заинтригованные лестницами, ведущими во всех воображаемых направлениях, и людьми, идущими по одной и той же лестнице в противоречащих друг другу направлениях. Лестницы являются тем «островком уверенности», на котором мы основываем нашу интерпретацию всей картины. Увидев в них знакомый предмет, мы пытаемся затем установить, как они связаны друг с другом. На этом этапе мы сталкиваемся с проблемой. Однако если бы мы попытались отказаться от своих взглядов и поставить под сомнение сами «островки уверенности», то столкнулись бы с трудностями иного рода. Мы никак не можем «перерешить» то, что лестницы — это лестницы. Не рыбы, кнуты или руки, а именно лестницы. (На самом деле, выход у нас все-таки есть: можно оставить все линии картины вообще без интерпретации, как «бессмысленные символы» формальной системы. Этот путь — пример «способа U», или отношения дзен-буддизма к символизму.)