Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Ученики Эвклида также были не в восторге от пятого постулата. В течение многих лет несказанное количество математиков посвящало несказанное число лет своей жизни попыткам доказать, что сам пятый постулат — всего лишь часть геометрии четырех постулатов. К 1763 году были опубликованы по крайней мере двадцать восемь доказательств — и все ошибочные! (Они были раскритикованы в диссертации некоего Г. С. Клюгеля.) Во всех этих ошибочных доказательствах присутствовала путаница между повседневной интуицией и строго формальными свойствами. Пожалуй, можно сказать, что на сегодняшний день эти «доказательства» не представляют интереса ни для математиков, ни для историков; однако имеются и некоторые исключения.

Во времена Баха жил некий Джироламо Саккери 1667-1733), питавший надежду освободить труд Эвклида от всех его недостатков. Основываясь на своих работах в области логики, он решил подойти к доказательству пятого постулата по-новому: предположим, что мы принимаем за истинное утверждение, обратное данному постулату . Теперь попробуем работать с этим утверждением в качестве пятого постулата. Через некоторое время мы наверняка придем к противоречию. Поскольку никакая математическая система не может содержать противоречия, тем самым мы докажем несостоятельность нашего пятого постулата — а следовательно, состоятельность пятого постулата Эвклида. Необязательно вдаваться в подробности истории; достаточно сказать, что Саккери с большой изобретательностью начал работать над «Саккерианской геометрией», выводя одно утверждение за другим, пока ему не надоело. В один прекрасный день он решил, что очередное выведенное им утверждение «противно самому понятию прямой линии». Это, как ему показалось, было именно тем, чего он так долго искал — желанным противоречием! Сразу после этого, незадолго до смерти, Саккери опубликовал свой труд под названием «Эвклид, освобожденный от недостатков».

Этим он лишил себя большей доли посмертной славы, так как не подозревал, что открыл то, что стало позже известно под именем «гиперболической геометрии». Через пятьдесят лет после Саккери, Ж. Г. Ламберт повторил ту же попытку, на этот раз подойдя еще ближе к цели. Наконец, через сорок лет после Ламберта и через пятьдесят лет после Саккери, неэвклидова геометрия была признана как новая, полноправная область геометрии. На доселе прямой дороге математики появилась развилка. В 1928 году неэвклидова геометрия одновременно, по одному из необъяснимых совпадений, была открыта венгерским математиком Яношем (Иоганном) Больяйем, которому тогда был двадцать один год, и тридцатилетним русским, Николаем Лобачевским. По иронии судьбы, в том же году великий французский математик Адриен-Мари Лежандр решил, что он нашел доказательство пятого постулата Эвклида. Его рассуждения весьма напоминали рассуждения Саккери.

Кстати, отец Яноша, Фаркаш (или Волфганг) Больяй, близкий друг великого Гаусса, также вложил много сил в попытку доказать Пятый постулат. В письме к своему сыну он пытался отговорить того от подобных занятий:

Не пытайся пробовать этот подход к параллельным линиям. Я прошел этот путь до самого конца. Я пережил эту бездонную ночь, погасившую всякий свет и радость в моей жизни. Молю тебя, оставь науку о параллельных прямых в покое. Я думал, что жертвовал собой во имя истины. Я был готов стать мучеником, который освободил бы геометрию от ее недостатков и, очищенную, возвратил бы ее человечеству. Я предпринял огромный, чудовищный труд; мои создания — неизмеримо лучше, чем у моих предшественников. И все же я не смог добиться полного удовлетворения. Поистине, si paullum a summo discessit, vergit ad imum . Убедившись, что ни один смертный не может достичь дна этой темной бездны, я повернул обратно, безутешный, жалея себя и все человечество… Я проплыл мимо всех рифов этого дьявольского мертвого моря, всегда возвращаясь со сломанной мачтой и разодранными в клочья парусами. Именно в это время у меня испортился характер и в жизни моей началась осень. Я легкомысленно поставил на карту мое счастье и саму мою жизнь — aut Caesar aut nihil. [9] Herbert Meschkowski «Non Euclidean Geometry» стр. 31 2

Однако позже, убежденный, что его сын действительно чего-то достиг, Фаркаш настоятельно советовал ему опубликовать свои результаты, правильно предвидя такую частую в науке проблему одновременности:

Когда для определенных вещей пришло время, они появляются в разных местах, подобно тому, как фиалки появляются на свет ранней весной. [10] Там же стр. 33

Насколько верным это оказалось в случае с неэвклидовой геометрией! В Германии сам Гаусс и еще несколько человек одновременно набрели на неэвклидовы идеи. Среди них были адвокат Ф. К. Швайкарт, который в 1818 году послал Гауссу письмо с описанием новой «астральной» геометрии, племянник Швайкарта Ф. А. Тауринус, который занимался неэвклидовой тригонометрией и Ф. Л. Вахтер, студент Гаусса, который умер в 1817 году в возрасте двадцати пяти лет, успев получить несколько глубоких результатов в неэвклидовой геометрии.

Ключом к неэвклидовой геометрии являлось «принятие всерьез» постулатов, на которых основаны такие геометрии как геометрия Саккери или Ламберта. Постулаты Саккери кажутся «отвратительными самой природе понятия прямой линии» только в том случае, если вы не можете освободиться от предвзятого мнения о том, что называть «прямой линией». Однако если вы можете отказаться от подобных идей и считать, что «простая линия» — это то, что удовлетворяет новым постулатам, то ваша точка зрения радикально изменится.

Эти рассуждения, вероятно, уже начинают звучать знакомо. В частности, они возвращают нас к теме системы prи ее варианта, где символы приобретали пассивное значение, зависящее от их роли в теоремах. Особенно интересен был символ r, поскольку его «значение» изменилось, когда мы прибавили новую схему аксиом. Совершенно так же з начения понятий «точка», «линия» и т. д. могут определяться множеством теорем (или постулатов), в которых они встречаются . Очень важно, что открыватели неэвклидовой геометрии это осознали. Они нашли различные неэвклидовы геометрии, по-разному отрицая пятый постулат Эвклида и изучая последствия этого. Строго говоря, они (как и Саккери) не отрицали пятого постулата прямо; вместо этого они отрицали эквивалентный, так называемый параллельный постулат:

Через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, не пересекающуюся с первой прямой, сколько бы мы их не продолжали.

В таком случае мы говорим, что вторая линия параллельна первой. Предполагая, что таких линий вообще не существует, вы входите в область эллиптической геометрии; утверждая же, что таких прямых существует по крайней мере две, вы оказываетесь в гиперболической геометрии. Говоря об этих вариантах, мы все еще используем термин «геометрия» поскольку в них присутствует основной элемент — абсолютная геометрия или геометрия четырех постулатов. Именно это «ядро» позволяет нам считать, что эти варианты — описания свойств некого геометрического пространства, хотя это пространство не так легко интуитивно представить, как обычное.