Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

В первой работе по математическому анализу (1669) Ньютон не без гордости ввел бесконечные ряды для упрощения основных операций — дифференцирования и интегрирования. Так, воспользовавшись для интегрирования (антидифференцирования) функции y = 1/(1 + x 2) теоремой о разложении бинома, Ньютон получил ряд

y = 1 − x 2 + х 4− x 6+ х 8− …,

который и проинтегрировал почленно. Ньютон обратил внимание на то, что если ту же функцию представить в виде y = 1/(x 2+ 1) , то та же теорема о разложении бинома даст ряд

y = 1/ x 2 − 1/ х 4 + 1/ x 6− 1/ х 8 + ….

Ньютон заметил далее, что при достаточно малом x следует пользоваться первым разложением, а при достаточно большом x — вторым. Из этого видно, что Ньютон интуитивно сознавал важность такого свойства ряда, как сходимость, хотя и не имел о нем ясного представления.

Обоснование, данное Ньютоном производимым им операциям над бесконечными рядами, может служить великолепным образцом логики того времени. В статье 1669 г. Ньютон утверждал:

То, что обычный анализ [алгебра] выполняет с помощью уравнений с конечным числом членов (если это выполнимо), [новый анализ] всегда может выполнить с помощью уравнений с бесконечным числом членов [рядов]; поэтому я, не задумываясь, назвал новое исчисление анализом. Рассуждения в нем не менее надежны, чем в обычном анализе, не менее точны и уравнения, хотя мы, смертные, чей разум ограничен узкими пределами, не можем ни выразить, ни постичь все члены этих уравнений дабы найти из них точные значения тех величин, которые нам нужны.

Для Ньютона бесконечные ряды были частью алгебры — высшей алгебры, изучающей выражения не с конечным, а с бесконечным числом членов.

Подобно Ньютону и Лейбницу, над решением странной проблемы бесконечных рядов бились несколько представителей славного математического рода Бернулли, а также Эйлер, Д'Аламбер и другие математики XVIII в. Применяя бесконечные ряды в анализе, они совершали всевозможные ошибки, предлагали неверные доказательства, приходили к неверным заключениям. Более того, иногда они в обоснование своих результатов приводили рассуждения, которые мы, ретроспективно, можем назвать лишь смехотворными и нелепыми. Даже беглого перечисления таких рассуждений достаточно, чтобы понять, какая сумятица и неразбериха царили тогда в представлениях о свойствах бесконечных рядов.

При x = 1 ряд (8), представляющий функцию 1/(1 + x) ,

1/(1 + x ) = 1 − x + x 2 − х 3+ x 4− …, (8)

переходит в ряд

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ….

Вопрос о том, чему равна сумма последнего ряда, порождал бесконечные споры. Если этот ряд записать в виде

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + …,

то становится ясно, что его сумма должна быть равна нулю. Но если тот же ряд записать как

1 − (1 − 1) − (1 − 1) − …,

то столь же ясно, что сумма ряда должна равняться единице. Однако ясно также и то, что если сумму ряда обозначить через S, то

S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …),

или

S = 1 − S ,

откуда S = 1/ 2. Последний результат подкрепляется еще одним доводом. Интересующий нас ряд можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем −1, а сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна a/(1 − r). В нашем случае сумма равна 1/[1 − (−1)], или 1/ 2.

Гвидо Гранди (1671-1742) в своем небольшом сочинении «Квадратура окружностей и гипербол» ( Quadratura circuit et hyperbolae, 1703) другим методом получил сумму, равную 1/ 2. Полагая в (8) x = 1 , он нашел:

1/ 2= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ….

Тем самым Гранди утверждал, что сумма ряда равна 1/ 2. Но одновременно он заявлял, что сумма того же ряда равна 0. По мнению Гранди, полученное им «равенство» 0 = 1/ 2доказывало, что мир мог быть создан из ничего.

В письме к Христиану Вольфу, опубликованному в Acta eruditorum за 1713 г., Лейбниц рассмотрел тот же ряд. Он согласился с выводом Гранди, но считал, что к подобному заключению можно было бы прийти, не обращаясь к исходной функции. Взяв первый член, сумму первых двух, трех, четырех и т.д. членов, Лейбниц получил 1, 0, 1, 0, …. Следовательно, счел он, 0 и 1 равновероятны и их среднее арифметическое, равное 1/ 2, — наиболее вероятное значение суммы ряда. Якоб, Иоганн и Даниил Бернулли, а также Лагранж согласились с доводами Лейбница. Признав, что его доводы носят не столько математический, сколько метафизический характер, Лейбниц сослался на распространенность такого рода аргументации: в математике, по его словам, метафизических истин гораздо больше, чем обычно думают.

В одном из писем, датированных 1745 г., и в работе 1754-1755 гг. Эйлер предпринял попытку решить проблему суммирования рядов. Ряд, сумма которого по мере увеличения числа членов все меньше отличается от некоторого фиксированного числа, называется сходящимся, а само это число — суммой ряда. По Эйлеру, ряд сходится, если члены его монотонно убывают. Ряд, члены которого не убывают и могут даже возрастать, расходится, а так как ряды такого типа порождаются хорошо известными явными функциями, то Эйлер предложил считать суммой ряда значение функции (при соответствующем значении x ).

Теория Эйлера породила дополнительные проблемы. Взяв разложение

1/(1 + x ) 2= (1 + x ) −2= 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3+ …,

Эйлер получил при x = −1

∞ = 1 + 2 + 3 + 4 + ….

Результат, казалось бы, вполне осмысленный. Но затем Эйлер рассмотрел ряд для функции 1/(1 − x) :

1/(1 − x ) = 1 + x + x 2+ x 3+ …

и получил при x = 2

− 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ….

Так как сумма ряда, стоящего в правой части этого ряда, должна превышать сумму предыдущего ряда, Эйлер заключил, что − 1 больше, чем бесконечность. Некоторые из современников Эйлера утверждали даже, что отрицательные числа, которые больше бесконечности, отличаются от отрицательных чисел, меньших нуля. С этим Эйлер не согласился: по его мнению, бесконечность разделяет положительные и отрицательные числа так же, как нуль.

Взгляды Эйлера на сходимость и расходимость рядов были ошибочными. В его время уже были известны ряды с монотонно убывающими членами, тем не менее не имеющие суммы по Эйлеру, — да и ему самому приходилось работать с рядами, которые не были порождены явными функциями. «Теория» бесконечных рядов Эйлера была явно неполной. Кроме того, Николай Бернулли (1687-1759) в ныне утерянном письме (1743), по-видимому, обратил внимание Эйлера на то, что различные аналитические выражения могут порождать один и тот же ряд, и если следовать предложенному Эйлером определению суммы ряда, то этому ряду надлежит приписать различные суммы. В письме Гольдбаху (1745) Эйлер ответил, что Бернулли не привел никаких примеров в подтверждение своих слов и что он, видимо, сам не верит в то, что два истинно различных алгебраических выражения могут порождать один и тот же ряд. Однако Жан Шарль Калле (1744-1799) предложил пример ряда, порождаемого двумя различными функциями. Лагранж пытался опровергнуть пример Калле, но, как выяснилось впоследствии, аргументы Лагранжа были ошибочными.