Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Тут можно читать онлайн Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - бесплатно ознакомительный отрывок. Жанр: Математика, издательство Астрель: CORPUS, год 2010. Здесь Вы можете читать ознакомительный отрывок из книги онлайн без регистрации и SMS на сайте лучшей интернет библиотеки ЛибКинг или прочесть краткое содержание (суть), предисловие и аннотацию. Так же сможете купить и скачать торрент в электронном формате fb2, найти и слушать аудиокнигу на русском языке или узнать сколько частей в серии и всего страниц в публикации. Читателям доступно смотреть обложку, картинки, описание и отзывы (комментарии) о произведении.
  • Название:
    Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
  • Автор:
  • Жанр:
  • Издательство:
    Астрель: CORPUS
  • Год:
    2010
  • Город:
    Москва
  • ISBN:
    978-5-271-25422-2
  • Рейтинг:
    4.38/5. Голосов: 81
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 80
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. краткое содержание

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - описание и краткое содержание, автор Джон Дербишир, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки LibKing.Ru

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - читать книгу онлайн бесплатно (ознакомительный отрывок), автор Джон Дербишир
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

И все же в динамических системах квантового масштаба можно наблюдать некоторую степень хаоса. Упорядоченную структуру уровней энергии для электронов на орбите вокруг атомного ядра, например, можно «взболтать», приведя в нерегулярное состояние путем наложения достаточно сильного магнитного поля. (Это, кстати, одна из динамических систем, моделируемых операторами ГУА.) После этого поведение атома становится хаотичным — оно будет радикально другим уже при самом легком изменении начальных условий.

Однако даже если такие системы с квантовым хаосом и сохраняют свое существование в течение некоторого времени, то законы квантовой механики в конце концов приводят их к порядку, отфильтровывая весь хаос. Число разрешенных состояний уменьшается; число запрещенных растет. Чем больше и сложнее система, тем большее время занимает восстановление порядка за счет квантовых законов и тем больше число разрешенных состояний… пока, уже на масштабе нашего обычного мира, утверждение квантового порядка не станет занимать триллионы лет, а число разрешенных состояний не достигнет столь большой величины, что его спокойно можно будет считать бесконечным. Поэтому в классической физике и имеется хаос.

Еще в 1971 году физик Мартин Гутцвиллер [181]нашел способ связать хаотические системы в классическом масштабе с подобными системами в квантовом мире путем взятия предела в уравнениях квантовой механики, когда квантовый множитель — постоянная Планка — стремится к нулю. Таким образом получается «квазиклассическая» система, а периодические орбиты, лежащие в основе классических хаотических систем, отвечают собственным значениям оператора, задающего эту систему.

Майкл Берри показал, что если риманов оператор существует, то он моделирует одну из этих квазиклассических хаотических систем, причем его собственные значения — мнимые части нулей дзета-функции — являются уровнями энергии этой системы. Периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе отвечали бы… — простым числам! (Строго говоря, их логарифмам). Кроме того, он показал, что у этой квазиклассической системы не было бы свойства «симметрии относительно обращения времени» — другими словами, если представить себе, что все скорости всех частиц в системе мгновенно и одновременно заменяются на противоположные, то система не вернется к своему начальному состоянию. (Хаотические системы могут допускать, а могут и не допускать обращение времени. Те, которые его допускают, моделируются не операторами типа операторов ГУА, а операторами другого вида, принадлежащими другому ансамблю — ГОА, т.е. гауссову ортогональному ансамблю.) Работа Берри (в значительной ее части — в сотрудничестве с его коллегой из Бристоля Джонатаном Китингом) представляет собой тонкое и глубокое исследование. Например, он очень детально проанализировал формулу Римана-Зигеля с целью глубоко проникнуть в природу нулей и их влияния друг на друга на различных отрезках их существования. На момент написания книги он пока не отождествил динамическую систему, отвечающую оператору Римана, но если такой оператор существует, то благодаря его работе мы распознаем его немедленно, как только он попадется нам на глаза. {A5}

IV.

Альтернативный подход развил другой исследователь — Ален Конн, профессор математики из парижского Коллеж де Франс. Вместо того чтобы выискивать, оператор какого типа мог бы иметь своими собственными значениями нули дзета-функции, он просто взял и построил такой оператор.

Это потребовало немалой ловкости. Оператор необходимо снабдить чем-то, на что он может действовать. Операторы того типа, о которых говорилось выше, действуют на пространствах. Плоское двумерное пространство может послужить иллюстрацией общего принципа, если в качестве наглядного пособия взять лист миллиметровки, хотя при этом и придется представлять себе, что он продолжается по всем направлениям до бесконечности. Предположим, что мы повернули это пространство на 30 градусов против часовой стрелки, так что каждая точка в нем тем самым переместилась в некоторую другую точку (за единственным исключением точки, вокруг которой происходит вращение, — она-то остается на месте). Это вращение дает пример оператора. Характеристический многочлен этого конкретного оператора имеет вид x 2− √3 x + 1 [182], а собственные значения равны 1/ 2√3 + 1/ 2 i и 1/ 2√3 − 1/ 2 i .

При желании для описания каждой точки в нашем пространстве можно ввести систему координат: для этого надо провести горизонтальную ось x и вертикальную ось y , пересекающиеся в точке вращения, и, как обычно, отложить расстояния в дюймах или сантиметрах вдоль этих осей. Тогда можно заметить, что наш оператор вращения отправляет точку (x, y) в новую точку с другими координатами — которые в действительности равны ( 1/ 2√3 x + 1/ 2 y , 1/ 2√3 x − 1/ 2 y ). Для оператора самого по себе это, впрочем, большого значения не имеет — оператор существует и отправляет точки на плоскости в новые точки независимо от какой бы то ни было системы координат. Вращение остается вращением, даже если мы забыли нарисовать пару осей.

Операторы, применяемые в математической физике, разумеется, действуют на значительно более сложных пространствах, чем в нашем примере. Эти пространства не двумерны и даже не трехмерны (подобно обычному пространству, которое окружает нас в быту), и даже не четырехмерны (как пространство-время, возникающее в теории относительности). Они представляют собой абстрактные математические пространства с бесконечным числом измерений. Каждая точка в таком пространстве является функцией. Операторы преобразуют функции в другие функции, а на языке пространств и точек это выражается как отображение одной точки в другую.

Чтобы получить первое представление о том, каким образом функцию можно отождествить с точкой в пространстве, рассмотрим один простой класс функций — квадратичные многочлены p + qx + rx 2. Семейство всех таких многочленов можно представить в трехмерном пространстве, если многочлену p + qx + rx 2поставить в соответствие точку с координатами (p, q, r). В том же духе, четырехмерное пространство будет моделировать кубические многочлены; пятимерное пространство — многочлены четвертой степени и т.п. Далее, поскольку некоторые функции можно записать в виде рядов, а ряд выглядит как бесконечный многочлен (например, e x записывается в виде 1 + x + 1/ 2 x 2+ 1/ 6 x 3+ 1/ 24 х 4+ …), становится понятно, как бесконечное число измерений может пригодиться при описании функций. На этом языке e x станет точкой в пространстве, заданной бесконечным набором координат (1, 1, 1/ 2, 1/ 6, 1/ 24, …).

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать


Джон Дербишир читать все книги автора по порядку

Джон Дербишир - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки LibKing.




Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. отзывы


Отзывы читателей о книге Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике., автор: Джон Дербишир. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Понравилась книга? Поделитесь впечатлениями - оставьте Ваш отзыв или расскажите друзьям

Напишите свой комментарий
x