Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Попутно заметим, что функция J обладает тем же свойством, которым мы снабдили функцию π(x) : в точке, где реально происходит прыжок, она принимает значение, лежащее посередине между теми значениями, от которого и до которого она прыгает.

Для полноты представления функции J на рисунке 19.3 изображен график J(x) при аргументах до 100. Самый маленький прыжок здесь совершается при x = 64 — это число представляет собой шестую степень (64 = 2 6), так что функция J прыгает при x = 64 на одну шестую.

Рисунок 19.3.Еще о функции J(x).

Какую пользу может принести подобная функция? Терпение, терпение. Сначала придется совершить один из тех логических скачков, о которых я предупреждал в начале главы.

Напоминаю в который уже раз, что у математиков есть масса способов обращать соотношения. Дали нам выражение для P через Q — отлично, посмотрим, не найдется ли способа выразить Q через P . В течение столетий в математике был развит целый инструментарий для того, чтобы совершать обращения, — он включает набор приемов для использования в самых разных условиях и обстоятельствах. Один из таких приемов носит название мебиусова обращения, и оно-то нам сейчас и нужно.

Не буду пытаться объяснить мебиусово обращение в общем виде. Оно описано в любом хорошем учебнике по теории чисел (см., например, раздел 16.4 в классической монографии «Теория чисел» Харди и Райта), а кроме того, поиск в Интернете наведет вас на множество ссылок. Подражая до некоторой степени самим функциям π и J , я вместо того, чтобы уныло тащиться от одной точки в моих рассуждениях к другой, перескочу сразу к следующему факту: применение мебиусова обращения к выражению (19.1)дает такой результат:

Можно заметить, что некоторые члены (четвертый, восьмой, девятый) здесь отсутствуют. А из тех, что присутствуют, некоторые (первый, шестой, десятый) входят со знаком плюс, тогда как другие (второй, третий, пятый, седьмой) — со знаком минус. Ничего не напоминает? Здесь спрятана функция Мебиуса из главы 15. На самом деле

(где 1√x как и в других местах в книге, есть, конечно, просто x ). Почему, как вам теперь кажется, это назвали мебиусовым обращением?

Итак, мы записали функцию π(x) , выразив ее через J(x) . Это чудесно, потому что Риман нашел способ, как выразить J(x) через ζ(x).

Прежде чем расстаться с выражением (19.2), надо еще упомянуть, что, подобно выражению (19.1), это не бесконечная сумма, а конечная. Это происходит из-за того, что функция J , как и функция π , равна нулю, когда x меньше 2 (взгляните на график!), а если последовательно извлекать корни из какого-нибудь числа, то результат рано или поздно упадет ниже 2 и там останется. Например,

что дает в точности число 25, которое и в самом деле является числом простых чисел меньших 100. Волшебство.

А теперь повернем Золотой Ключ.

Вот Золотой Ключ, первое равенство в статье Римана 1859 года, полученное нами в главе 7, когда я убеждал вас, что это просто хитрый способ переписать решето Эратосфена:

He будем забывать, что числа, появляющиеся в правой части, — это в точности все простые числа.

Возьмем логарифм от обеих частей. Если что-то равно чему-то, то, конечно, и логарифм одного должен быть равен логарифму другого. Согласно 9-му правилу действий со степенями, которое гласит, что ln( a×b ) = ln а + ln b , получаем

Но, поскольку ln 1/ a = −ln a согласно 10-му правилу, это выражение равно

Теперь вспомним ряд сэра Исаака Ньютона для функции ln (1 − x ) из главы 9.vii. Он пригоден при x , лежащем от −1 до +1, что, без сомнения, выполнено в нашем случае, поскольку s положительно. Поэтому каждый логарифм можно разложить в бесконечный ряд таким образом (19.3):

Это бесконечная сумма бесконечных сумм — с первого взгляда, я полагаю, подобное немного пугает, но в математике такие конструкции встречаются достаточно часто.

Сейчас может показаться, что мы оказались в ситуации, которая много хуже той, что была вначале. Аккуратненькое бесконечное произведение мы превратили в бесконечную сумму бесконечных сумм. Предприятие может показаться безнадежным. Да, но это если не использовать всю мощь анализа.

Возьмем какой-нибудь один из членов в этой сумме сумм. Выберем, например, . Рассмотрим функцию x − s −1и будем временно считать, что s — положительное число. Каков интеграл от x − s −1? В силу общих правил обращения со степенями, приведенных в главе 7.vii, это x − s /(− s ), т.е. (−1/ s )×(1/ x s ). Если мы возьмем этот интеграл при x , равном бесконечности, и вычтем из того, что получится, тот же интеграл, взятый при x равном 3 2,то что получится? Ну, если x — очень большое число, то (−1/ s )×(1/ x s ) — число очень маленькое, так что справедливо будет считать, что, когда x бесконечно велико, это выражение равно нулю. И из этого — из нуля — мы собираемся вычесть (−1/ s )×(1/(3 2) s ). Такое вычитание дает (1/ s )×(1/(3 2) s ). Сухой остаток таков: выбранный член в выражении (19.3)можно переписать в виде интеграла

Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J , вот зачем.

Дело в том, что x = 3 2— это значение, при котором функция J совершает прыжок на 1/ 2. В голове у математика — и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, — приведенное выражение сразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция J с заполненной полосой. Полоса тянется от 3 2(т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» — думаем «интеграл») графиком функции J составлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3)?