Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

377. Разностные квадраты.Можете ли вы расположить 9 цифр в виде квадрата таким образом, чтобы в любой строке, в любом столбце и на каждой из больших диагоналей разности между суммой двух цифр и третьей цифрой совпадали между собой? На нашем рисунке приведен квадрат, в котором все строки и столбцы удовлетворяют требуемому условию — разность в них равна 3 (например, 4 + 2 - 3, 1 + 9 - 7, 6 + 5 - 8 и т. д.), а вот диагонали «подкачали», поскольку разности 8 - (4 + 1) и 6 - (1 + 2) получены запрещенным способом: не из одной цифры должна вычитаться сумма двух остальных, а из суммы двух — одна.

Сколько всего существует решений?

378. Так ли просто?Перед вами простой магический квадрат, у которого суммы чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на главных диагоналях, равны 72. Головоломка состоит в том, чтобы превратить его в мультипликативный магический квадрат, у которого произведения чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце или на любой из больших диагоналей, совпадали бы между собой. Не разрешается ни менять числа местами, ни прибавлять к ним что-либо, ни вообще пользоваться какими-либо арифметическими знаками! Можно лишь передвигать цифры внутри одной клетки. Так, вместо 27 разрешается брать 72.

Если вам удастся подобрать «ключ» к решению, то задача окажется необычайно простой. В противном случае решить головоломку почти невозможно.

379. Фокус с магическим квадратом.Этот фокус был весьма разрекламирован в США много лет назад.

Заполните пустые квадраты (см. рисунок) цифрами (в каждом случае различными, чтобы никакие две клетки не содержали одинаковой цифры) так, чтобы сумма чисел, стоящих как можно в большем числе столбцов, строк и на диагоналях, равнялась 15. За разгадку «секрета» фокуса был назначен большой приз, но получить правильное решение не удалось никому.

Может быть, читатель разгадает, в чем здесь дело?

380. Магический квадрат из четырех цифр.Поскольку данный квадрат составлен из одного и того же числа 1234, естественно, что суммы чисел, стоящих во всех строках, столбцах и на диагоналях, равны между собой. Суть головоломки в том, чтобы составить и разместить 9 различных четырехзначных чисел (составленных из тех же самых четырех цифр) так, чтобы они тоже образовывали правильный магический квадрат. Помните, что все вместе числа должны содержать по девять экземпляров каждой из цифр 1, 2, 3, 4 и что это должны быть настоящие четырехзначные числа без каких-либо дробей; никакие трюки здесь не допускаются.

381. Прогрессирующие квадраты.Перед вами магический квадрат, постоянная которого, то есть сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей, равна 287. Если мы удалим числа, расположенные по краям, то останется другой магический квадрат, постоянная которого равна 205. Если мы опять удалим крайние числа, то получится квадрат с постоянной 123. Заполните теперь пустые клетки числами от 1 до 83 включительно так, чтобы получился магический квадрат с постоянной 369 на любой из 20 его прямых.

382. Условный магический квадрат.Хотя относительно простого построения магических квадратов добавить нечего, а по самому предмету существует весьма обширная, правда, разрозненная, литература, небольшие вариации с некоторыми новыми условиями всегда вызывают интерес. Вот один нетрудный пример.

Можно ли построить магический квадрат, у которого суммы чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на каждой из двух больших диагоналей, были бы одинаковы, из чисел от 1 до 25 включительно, если размещать в заштрихованных клетках только нечетные числа, а в остальных четные? Существует достаточно много решений этой задачи. Не смогли бы вы найти хотя бы одно из них?

383. Пятиконечная звезда.Головоломки со звездами обладают своеобразной притягательной силой. Я приведу пример такой головоломки с простой пятиконечной звездой.

В каждый кружок изображенной здесь пятиконечной звезды требуется поместить различные числа таким образом, чтобы сумма любых четырех чисел, стоящих на одной прямой, равнялась 24. Решения с десятью последовательными числами не существует, однако вы можете использовать любые целые числа, какие пожелаете.

384. Шестиконечная звезда.В предыдущей задаче мы рассмотрели случай с пятиконечной звездой. Оказывается, с шестиконечной звездой дело обстоит еще интересней. В этом случае (см. рисунок) мы всегда можем использовать 12 последовательных чисел, от 1 до 12, а сумма четырех чисел на каждой прямой всегда окажется равной 26. Сумма чисел, стоящих в шести вершинах, может равняться любому числу от 24 до 54 включительно, кроме 28 и 50. В нашем примере эта сумма равна 24. Если вместо каждого из чисел вы подставите разность между ним и 13, то получите другое решение, дополнительное к данному, с суммой вершин, равной 54 (78 минус 24). Две дополнительные суммы в совокупности всегда дают 78.

Я приведу общее число различных решений и укажу на некоторые любопытные законы, которым подчиняется эта задача, но ее решение предоставлю читателю. Существует 6 и только 6 размещений, при которых сумма чисел на каждой прямой и во всех вершинах равна 26. Можете ли вы найти одно из них или даже все?

385. Семиконечная звезда.Мы уже познакомились вкратце с пяти- и шестиконечными звездами. Случай с семиконечной звездой особенно интересен. Все, что от вас требуется, это разместить в кружочках числа от 1 до 14 так, чтобы в любых четырех кружочках, лежащих на одной прямой, они в сумме давали 30.

Если вы нарисуете диаграмму, подобную изображенной на нашем рисунке, и воспользуетесь перенумерованными фишками, то вам будет трудно не подпасть под очарование этой головоломки. Возможно, однако, что никто из читателей не натолкнется на простой способ ее решения и решение будет найдено лишь благодаря терпению и удаче. И все же, как и в подавляющем большинстве головоломок, уже встречавшихся на наших страницах, вы увидите, что и в данном случае решение подчиняется некоторому закону (если сумеете найти этот закон).