Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

В теории также предполагается, что экспоненциальный рост увеличит ваш банковский счет. Если ваш вклад растет с годовой процентной ставкой, равной r , то через год сумма увеличится в (1 + r ) раз от первоначального размера вклада; после двух лет она вырастет в (1 + r ) 2раз, а после х лет — в (1 + r ) х раз. Таким образом, чудо погашения долга [54] Здесь речь идет о том, что если процентная ставка депозита выше ставки по кредиту, то через несколько лет сумма на депозите может погасить сумму кредита. Прим. ред. , о котором мы так часто слышим, вызвано действием экспоненциального роста.

С этого места можно вернуться к логарифмам. Мы нуждаемся в них потому, что полезно иметь инструменты, которые могут отменить действие других инструментов. Подобно тому как каждый служащий нуждается как в степлере, так и в антистеплере, каждый математик нуждается как в показательных (экспоненциальных) функциях, так и в логарифмах, поскольку они взаимообратны. Это означает, что если вы введете в калькулятор число х и нажмете кнопку «10 х », а затем кнопку «log x », то в результате опять получите число х . Например, если х = 2, то 10 х составит 100. Взяв десятичный логарифм от 100, снова получим 2, так как log [55] Как правило логарифм по основанию 10 записывают как lg, но на калькуляторе кнопка «log x » обозначает десятичный логарифм. Прим. ред. (100) = 2. Кроме того, log (1000) = 3, log (10 000) = 4, потому что 1000 = 10 3, 10 000 = 10 4.

Обратите внимание, в этом есть что-то магическое: как только числа внутри логарифмов увеличиваются мультипликативно каждый раз с десятикратным увеличением от 100 до 1000 и до 10 000 (то есть умножаются на 10), их логарифмы растут аддитивно, увеличиваясь от 2 до 3 и до 4. Наш мозг выполняет подобный трюк, когда мы слушаем музыку. Частоты нот в музыкальной гамме — до, ре, ми, фа, соль, ля, си — становятся нам слышны благодаря увеличению высоты звука равными интервалами . Но объективно их частоты растут, умноженные на равные множители. Мы же воспринимаем расстояние между высотой звука в гаммах «логарифмически» [56] 42. Для справок и дальнейшего обсуждения нотных гамм и нашего (почти) логарифмического восприятия высоты звука см. J. H. McDermott and A. J. Oxenham, Music perception, pitch, and the auditory system, Current Opinion in Neurobiology, Vol. 18 (2008), pp. 1–12 на http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music); http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale; и http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies. Для подтверждения того, что наше врожденное арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm. Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу. .

Везде, где появляются логарифмы, — от шкалы Рихтера для определения магнитуды землетрясений до коэффициента кислотности рН, — они становятся замечательными «уплотнителями». Логарифмы идеально подходят для величин, изменяющихся в широком диапазоне, и сжимают их, чтобы они стали более управляемыми. Например, 100 и 100 000 000 отличаются в миллион раз — эту пропасть большинство из нас даже не может вообразить. Но их логарифмы разнятся всего в четыре раза (равны 2 и 8, так как 100 = 10 2и 100 000 000 = 10 8). Когда мы разговариваем о заработной плате, то используем грубую версию логарифмической краткости, определяя заработную плату в интервале между 100 000 и 999 999 долларов шестью цифрами. Эта «шестерка» является приблизительным логарифмом этих сумм заработной платы, которые на самом деле находятся в диапазоне от 5 до 6.

Поскольку только инструменты математика могут сделать так впечатляюще много, как описанные функции, возможно, именно поэтому я до сих пор не собрал купленные книжные шкафы.

Спорим, я смогу угадать ваш любимый раздел математики в средней школе?

Это геометрия. Правильно?

Столько из встреченных мной за эти годы людей говорили мне о своей любви к этому предмету. Вместе с тем, скольких образно мыслящих людей, у которых лучше развито правое полушарие, используемое при занятиях геометрией, отпугнула ее холодная логика? Наверное, многих. Но некоторые признавались, что любят геометрию именно за ее логичность . Математическое доказательство каждой новой теоремы представляет собой цепочку логических следствий из уже ранее доказанных теорем. Таким образом, при доказательстве теоремы оно сводится к ранее доказанному, что для многих становится источником вдохновения.

Но лучшая моя догадка (и откровенное признание, почему лично я люблю геометрию) заключается в том, что люди наслаждаются этой наукой, потому что она замужем за логикой и интуицией. Она хорошо себя чувствует, когда мы используем оба полушария мозга.

Чтобы проиллюстрировать, какое удовольствие можно получить от геометрии, снова обратимся к теореме Пифагора, которую вы, наверное, помните в виде равенства a 2+ b 2= c 2. Здесь я преследую две цели: убедиться, что она верна, и оценить ее значение. Помимо этого, рассмотрев два ее различных доказательства, мы сможем воочию убедиться, что они могут быть не только правильными, но и элегантными.

Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику, то есть к треугольнику, один из углов которого равен 90°. Такие треугольники интересны тем, что их можно получить, разрезав прямоугольник по диагонали на две равные части:

А так как в условиях различных задач прямоугольники не редкость, то, соответственно, и прямоугольные треугольники тоже. Например, они встречаются в геодезии.

Измеряя поле прямоугольной формы, вы, возможно, захотите узнать расстояние по диагонали от одного угла до противоположного. (Кстати, в начале своего существования геометрия применялась именно при измерении площади земельного участка, то есть в измерении земли: geo — земля, а metr — измерение.)

Теорема Пифагора [57] Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества ее изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007). Прим. ред.: Аналогом данной книги на русском языке может служить книга Литцман В. Теорема Пифагора. М.: ГИФМЛ, 1960. указывает, какова длина диагонали по сравнению со сторонами прямоугольника. Если одна сторона имеет длину a , а другая — b , то теорема утверждает, что длиной диагонали будет с , где