Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

a 2+ b 2= c 2.

Почему-то самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой [58] На странице 13 своей книги Маор объясняет, что слово «гипотенуза» означает «натянутая под», и указывает, что это имеет смысл, если считать, что гипотенуза прямоугольного треугольника находится внизу (см. евклидово доказательство теоремы Пифагора). Он также отмечает, что эта интерпретация хорошо вписывается в китайское слово, обозначающее гипотенузу, «сянь» ( hsien) — струна, натянутая между двумя точками (как в лютне). , хотя я никогда не встречал никого, кто знает историю происхождения этого термина. (Может, какой-нибудь древнеримский или греческий ученый?)

Посмотрим, как работает теорема Пифагора. Для этого в выражение a 2+ b 2= c 2подставим числа. Пусть a = 3 ярдам и b = 4 ярдам. Тогда, чтобы определить неизвестную длину стороны c , мы надеваем черные капюшоны и читаем нараспев: с 2— это сумма 3 2и 4 2, что равно 9 и 16. (Имейте в виду, что все величины теперь измеряются в квадратных ярдах, так как мы возводим в квадрат не только сами числа, но и ярды.) Так как 9 + 16 = 25, то с 2= 25 квадратным ярдам. Далее извлекаем квадратные корни из обеих частей уравнения и получаем длину гипотенузы с = 5 ярдов.

Такой подход к теореме Пифагора создает впечатление, что в ней говорится о длине сторон треугольника. Хотя традиционно считается, что в ней идет речь о площадях . Это становится очевидным, если посмотреть, как Пифагор ее сформулировал.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Обратите внимание на слова «построенный на». Мы не говорим о квадрате гипотенузы — это новомодная алгебраическая концепция об умножении длины гипотенузы саму на себя. Нет, мы здесь имеем в виду некий квадрат, «сидящий» на гипотенузе примерно вот так:

Давайте назовем его большим квадратом, чтобы отличить от малого и среднего, которые можно построить на двух других сторонах:

Теперь теорема утверждает, что большой квадрат имеет такую же площадь, как малый и средний, вместе взятые.

На протяжении тысяч лет этот чудесный факт подтверждался следующей диаграммой, представляющей мнемоническую символьную схему танца квадратов:

Рассматривать теорему с точки зрения площадей квадратов весьма приятно. Например, построив квадраты из множества маленьких крекеров [59] Дети и их родители насладятся съедобными иллюстрациями теоремы Пифагора, предложенными Джорджем Хартом на его постере Pythagorean crackers («Пифагорейские крекеры») для музея математики по адресу http://momath.org/home/pythagorean-crackers/. , вы можете сначала эмпирическим путем проверить верность теоремы, а затем съесть их. Или можно представить теорему как детскую головоломку, состоящую из пазлов различной формы и размера. Путем их перестановки теорему очень легко доказать.

Давайте вернемся к наклоненному квадрату, сидящему на гипотенузе.

Интуитивно это изображение должно немного смущать. Квадрат выглядит потенциально нестабильным: кажется, что он может свалиться или съехать вниз по наклонной плоскости. А тут еще явное самоуправство: каждая из его четырех сторон хочет соприкасаться с треугольником.

Чтобы усмирить все стороны квадрата, поместим еще три таких же треугольника на три его оставшиеся стороны так, чтобы получилась более устойчивая и симметричная картинка.

Теперь вспомним, что мы пытаемся доказать, что наклоненный белый квадрат (большой квадрат, все еще сидящий на гипотенузе) имеет такую же площадь, как малые и средние квадраты, вместе взятые. Но где же здесь другие квадраты? Чтобы найти их, надо переместить часть треугольников. Представьте картинку как изображение головоломки. В углах ее жесткой рамки вставлены четыре кусочка треугольной формы.

При такой интерпретации наклоненный квадрат будет свободным пространством в середине головоломки. Оставшуюся часть внутри рамки занимают пазлы. Попробуем их подвигать. Конечно, что бы мы ни делали, мы никогда не сможем изменить общую площадь свободного пространства внутри рамки — оно всегда будет областью, лежащей вне пазлов.

После небольшого мозгового штурма переставим пазлы таким образом:

Пустое пространство неожиданно принимает форму среднего и малого квадрата, которые мы ищем. А так как общая площадь свободного пространства неизменна, вот мы и доказали теорему Пифагора!

Это доказательство дает гораздо больше, чем уверенность в правильности теоремы, — оно ее разъясняет . И именно это делает его элегантным.

Для сравнения рассмотрим еще одно доказательство. Не менее знаменитое, и, пожалуй, самое простое из тех, где не используются площади.

Как и прежде, возьмем прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой с , как показано ниже на рисунке слева.

Далее (как что-то подсказывает нам по божественному вдохновению или благодаря собственной гениальности) проведем перпендикуляр вниз от гипотенузы к противоположному углу, как это сделано в правом треугольнике.

Эта маленькая умная «бестия» внутри исходного треугольника создает еще два меньших треугольника. Легко доказать, что все они подобны, то есть у них одинаковая форма, но различные размеры. Что, в свою очередь, означает, что длина их соответствующих сторон имеет подобные пропорции. Это можно записать в виде следующей системы равенств: