Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила доказать, что

В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это означает, что π находится между 3,1408 и 3,1429.

Этот метод известен как метод исчерпывания [78] Кто хочет посмотреть математическое обоснование Архимедова метода исчерпывания, обратитесь к http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html. , быть может, потому что неизвестные значения числа π загоняются между двумя известными числами, сжимающими его с двух сторон. Границы сужаются с каждым удвоением, тем самым исчерпывая возможности для маневра числа π.

В пределе бесконечно большого числа сторон многоугольников верхняя и нижняя границы неравенств будут сходиться к π. К сожалению, этот предел не такой простой, как у фигуры с фестонами, превратившейся в прямоугольник. Число π становится неуловимее, чем когда бы то ни было ранее [79] Все, кто интересуется героическими вычислениями π до очень высокой степени точности, должны воспользоваться страничкой Ричарда Престона о братьях Чудновских. Эта нежная и удивительно смешная история под названием The mountains of pi («Горы “пи”») появилась в номере еженедельного журнала New Yorker от 2 марта 1992 года; ее можно прочитать в вышедшей позднее книге R. Preston, Panic in Level Four (Random House, 2008). . В настоящее время посчитано его значение более чем с 2,7 триллиона знаков, но вы никогда не будете знать его точно.

Помимо того что Архимед заложил основу для интегрального исчисления, он показал нам силу пошагового приближения. Прошло более двух тысячелетий, и эта стратегия развилась в современных методах численного анализа [80] Учебник, дающий представление об основных методах численного анализа: W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes, 3 rd edition, Cambridge University Press, 2007. Прим. ред.: Среди огромной литературы по методам численного анализа выделим только одну книгу, которая подойдет и для начинающих математиков: Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. . Когда инженеры используют компьютеры для проектирования оптимально обтекаемого автомобиля или биофизики моделируют новый препарат химиотерапии в качестве защелки на раковую клетку, они используют численный анализ.

Математики и программисты, ставшие пионерами в области применения этого метода, создали высокоэффективные алгоритмы, которые можно выполнять миллиарды раз в секунду, что позволяет компьютерам решать задачи из всех областей современной жизни — от биотехнологий до Уолл-стрит и интернета. В каждом случае используется стратегия нахождения ряда приближений, сходящегося в пределе к правильному ответу.

И нет предела тому, где это можно применить.

До того как я узнал, что такое исчисление [82] В русском языке слово «исчисление» без соответствующих прилагательных почти не применяется, а с прилагательными это интегральное и дифференциальное исчисление или исчисление бесконечно малых. Вместе с тем в большинстве словарей исчисление определяется как формальный аппарат, система правил оперирования со знаками. В английском языке слово calculus (исчисление) понимается именно в таком расширенном толковании как «система правил…». Если у кого-то из читателей слово «исчисление» (без прилагательных) будет вызывать удивление или неприятие, то его можно мысленно заменять на «математический анализ». В данной главе при упоминании исчисления в основном подразумевается дифференциальное исчисление. Прим. ред. , я думал, что это что-то необыкновенное. Мой папа говорил о нем с благоговением. Будучи ребенком Великой депрессии, он не смог пойти учиться в колледж, но, возможно, во время пребывания в южной части Тихого океана, ремонтируя двигатели бомбардировщика B-24, он ощутил, на что способно исчисление. Представьте себе несколько зениток с механическим управлением, ведущих автоматический огонь по заходящим на цель истребителям врага. Отец знал, что исчисление здесь использовалось для прицеливания орудий.

Каждый год около миллиона американских студентов проходят курс исчисления [83] См. M. Bressoud, The crisis of calculus, Mathematical Association of America (April 2007), доступно на http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_04_07.html. . Но мало кто из них действительно понимает, о чем вообще этот курс, или может объяснить, зачем он нужен. Это не их вина. В этом курсе изучается так много методов, которые следует освоить, и так много новых идей, которые необходимо впитать, что легко пропустить общие положения.

Исчисление функций и интегралов [84] То есть дифференциальное и интегральное исчисление. Прим. ред. — это математика перемен. Она описывает все — от распространения эпидемий до зигзагов крученого мяча в бейсболе. Этот предмет охватывает большой объем материала, и учебники по размеру соответствующие. Многие превышают тысячу страниц, и работать с ними так же приятно, как открывать дверь с дверной пружиной.

Но в этом объемистом фолианте вы обнаружите две идеи, просвечивающие сквозь толщу материала. Все остальное, как любил повторять золотое правило рабби Гиллель, просто комментарии. Эти две идеи — производная и интеграл. Каждая доминирует в своей области исчислений, названных в их честь: дифференциальное и интегральное исчисления.

Грубо говоря, производная расскажет вам, как быстро что-то меняется, а интеграл — сколько это «что-то» накопит. Они родились в разное время и в разных местах: интегралы в Греции около 250 года до н. э., производные — в Англии и Германии в середине XVII века. Тем не менее (поворот в духе романов Диккенса) они оказались кровными родственниками, хотя ученым и потребовалось более двух тысячелетий, чтобы заметить это родство.

В следующей главе мы исследуем столь удивительную связь и понятие интеграла. Но сначала, в рамках подготовительной работы, рассмотрим производные.

Производные существуют вокруг нас, даже если мы не считаем их таковыми. Например, наклон трапа является производной. Как и все производные, он измеряет скорость изменения. В данном случае — на какую высоту за шаг вы поднимаетесь или спускаетесь. Крутой подъем имеет б о льшую производную. У наклона инвалидной коляски с незначительным перепадом она маленькая.