Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Затем я прошу кого-либо из аудитории назвать любое число больше 34. Предположим, это будет 67. После достаю еще одну визитку, рисую пустую сетку «4 на 4» и помещаю число 67 справа от нее. Далее прошу человека указывать на квадраты по одному, в любом порядке. Как только он указывает на пустую клетку, я незамедлительно записываю в нее число.

Конечный результат выглядит так:

Я продолжаю: «В случае с первым магическим квадратом каждая строка и каждый столбец при сложении давали тридцать четыре. (На этом этапе я обычно откладываю карточку с квадратом в сторону.) Теперь посмотрим, что у нас получилось с новым квадратом». Убедившись, что элементы каждой строки и каждого столбца действительно дают в сумме 67, я говорю: «Но я не останавливаюсь на этом. Специально для вас я решил пойти еще на один шаг дальше. Обратите внимание, что обе диагонали при сложении дают шестьдесят семь!» Затем я указываю на то, что сумма четырех квадратов в левом верхнем углу тоже равна 67 (16 + 19 + 22 + 10 = 67), как и остальных квадратов такого же размера! «Они все в сумме равны шестидесяти семи. Но не верьте мне на слово. Пожалуйста, оставьте себе магический квадрат в качестве сувенира и проверьте его потом сами!»

Вы можете создать магический квадрат, который при суммировании давал бы любое число, воспользовавшись исходным магическим квадратом с суммой 34. Держите его при этом на виду. Пока вы чертите сетку «4 на 4», устно выполните следующие вычисления.

1. Вычтите 34 из заданного числа (например, 67–34 = 33)

2. Разделите полученное число на 4 (например, 33/4 = 8 с остатком 1)

Частное — это первое «магическое» число. Частное плюс остаток — второе «магическое» число. (Здесь магические числа 8 и 9.)

3. Когда доброволец указывает на пустой квадрат, незаметно взгляните на квадрат 34, чтобы узнать, какой квадрат ему соответствует. Если это квадрат с числами 13, 14, 15 или 16, прибавьте к ним второе число (в нашем примере 9). Если нет, то прибавьте первое магическое число (8).

4. Вставляйте подходящее число до тех пор, пока не закончите составление магического квадрата.

Обратите внимание: когда заданное число четное, но не кратное 4, ваши первое и второе магические числа будут одинаковыми. Так что у вас будет только одно магическое число для прибавления его к числам из квадрата 34.

Почему это работает

Этот метод работает потому, что каждая строка, столбец и диагональ из исходного магического квадрата при сложении дают 34. Предположим, заданное число 82. Так как 82–34 = 48 (и 48/4 = 12), то следует прибавлять 12 к каждому числу в каждой ячейке исходного магического квадрата. В результате каждая «группа четверок», которая до этого равнялась 34, будет при сложении давать 34 + 48 = 82. Можете убедиться в этом на примере следующего магического квадрата.

С другой стороны, если бы заданным числом было 85, магическими числами были бы 12 и 15. Поэтому мы прибавим 15 к квадратикам, которые содержат числа 13, 14, 15 и 16. Так как каждые строка, столбец и квадрат «2 на 2» содержат одно из этих чисел, то каждая группа из 4 клеток будет при сложении давать 34 + 12 х 3 + 15 = 85, как в следующем магическом квадрате.

В качестве интересного математического пустячка позвольте отметить еще одно удивительное свойство знаменитого магического квадрата «3 на 3», показанного ниже.

В нем не только строки, столбцы и диагонали дают в сумме 15, но если вы представите строки магического квадрата как трехзначные числа, то сможете удостовериться с помощью калькулятора, что 492 2+ 357 2+ 816 2= 294 2+ 753 2+ 618 2. Так же как 438 2+ 951 2+ 276 2= 834 2+ 159 2+ 672 2. Если вам любопытно, почему так происходит, вы найдете ответ в моей статье Magic «Squares» Indeed! («В самом деле “магические” квадраты!»), ссылка на которую дана в библиографии.

Попросите кого-нибудь выбрать двузначное число, но не называть его. Затем попросите возвести это число в куб, то есть умножить само на себя трижды, используя калькулятор. Например, если секретное число 68, пусть доброволец вычислит 68 х 68 х 68 = 314 432 и назовет ответ. Как только он произнесет его вслух, вы можете мгновенно раскрыть секрет исходного числа — это кубический корень 68. Как это делается?

Чтобы быстро вычислять кубические корни, нужно выучить кубы чисел от 1 до 10.

1 3= 1

2 3= 8

3 3= 27

4 3= 64

5 3= 125

6 3= 216

7 3= 343

8 3= 512

9 3= 729

10 3= 1000

Как только вы запомните эти значения, вычислять кубические корни станет так же легко, как и назвать значение числа π . Приведем пример.

Чему равен кубический корень из 314 432?

Кажется, что это довольно сложное задание для начала, но не паникуйте, на самом деле оно довольно простое. Как обычно, будем двигаться постепенно.

1. Посмотрите на величину тысяч, 314 в данном примере.

2. Поскольку 314 лежит между 6 3 = 216 и 7 3 = 343, то кубический корень находится в диапазоне «60 плюс» (так как 60 3= 216 000 и 70 3= 343 000). Следовательно, первая цифра кубического корня будет 6.

3. Для определения последней цифры заметьте, что только куб числа 8 оканчивается на 2 (8 3= 512), так что последней цифрой будет 8.

Поэтому кубический корень из 314 432 равен 68. Три простых шага — и вы у цели. Обратите внимание, что каждая цифра от 0 до 9 появляется по одному разу в виде последней цифры куба.

А теперь попрактикуйтесь.

Чему равен кубический корень из 19 683 ?

1. 19 находится между 8 и 27 (2 3и 3 3).

2. Следовательно, кубический корень лежит в диапазоне «20 плюс».

3. Последняя цифра в задаче 3, что соответствует 343 = 7 3, значит, 7 и будет последней цифрой.

Ответ: 27.

Обратите внимание, что наши выводы по поводу последней цифры работают только тогда, когда исходное число является кубом целого числа. Например, кубический корень из 19 684 будет 27,0004572… Определенно не 27. Вот почему эта тема включена в раздел математической магии, а не в более ранние главы. (Кроме того, расчеты производятся настолько быстро, что кажется, будто без магии не обошлось!)

Квадратные корни так же просто вычислить, если задан полный квадрат. Например, если кто-то сказал вам, что квадрат двузначного числа равен 7569, то вы в состоянии мгновенно ответить, что исходное число (квадратный корень) равно 87. Вот как это делается.