Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Сумма Σ 6 k=3x kозначает х 3+ х 4+ х 5+ х 6,

Cумма Σ n j=mx jозначает х m+ х m+1 … + х n-1+ х n.

Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.

Так, Σ m i=1x i = Σ m j=1x j = Σ m k=1x k

Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ m k=1x kслагаемыми являются х k.

* * *

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.

Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х 2— 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх 2— 6х 3= -12 — уравнение третьей степени.

В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.

Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:

хкг вес золота 975-й пробы

(2 — х) кг вес золота 750-й пробы

х∙0,975 + (2 — х)∙0,750 = 2∙0,900

х∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙ х= 1,800

х∙0,975 — 0,750 х= 1,800 — 2∙0,750

х∙0,225 = 1,800 — 1,500

х∙0,225 = 0,300

х= 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы

(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.

Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м 2Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины ( х) на длину ( х+ 20) равно 2400 м 2. Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах 2+ Ьх+ с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:

В этом случае:

х∙ (х+ 20) = 2400; х 2+ 20х= 2400; х2+ 20х— 2400 = 0.

Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.

Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:

<= «меньше либо равно»

< «меньше» (строго)

>= «больше либо равно»

> «больше» (строго).

Неравенству с одной переменной х— 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:

х— 7 >= 13; х— 7 + 7 >= 13 + 7; х>= 20.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.

Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.

Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.

Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.

* * *

Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:

Σ n j=0 (1 + 2j) = (1 + 2∙0) + (1 + 2∙1) + (1 + 2∙2) + (1 + 2∙3) + (1 + 2∙4) + (1 + 2∙5) + (1 + 2∙6) + (1 + 2∙7) + (1+ 2∙8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.

Сумма Σ 5 j=2 2 jравняется 2 2+ 2 3+ 2 4+ 2 5= 4 + 8 +16 + 32.

Сумма Σ 3 l=1 (l+1)∙3 l= 2∙З 1+ 3∙З 2+ 4∙3 3= 6 + 27 + 108.

* * *

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Во многих областях современной математики переменная определяется как дискретное множество (это означает, что она может принимать только определенные значения, и между двумя соседними значениями не может находиться никакого другого). На языке математики это записывается так: { х 1, х 2, …, х n}. Между значениями х 1и х 2нет никакого другого значения переменной х.

Существуют и другие переменные, используемые намного чаще, которые определены на непрерывных множествах (это означает, что такие переменные могут принимать целые, дробные и иррациональные значения). Примером такой переменной является {0 <= t <= }. Очень часто для решения различных задач, связанных с функциями, определенными на непрерывных множествах, требуется выполнить операцию интегрирования , как, например, в случае с функцией вероятности или нормальным распределением вероятности. Когда речь идет о дискретных переменных, операцией, аналогичной интегрированию, является сложение.

Функция f(t)непрерывной переменной t, определенная на множестве { a<= t<= b}.

Функция у(х)дискретной переменной х, определенная на множестве { х 1, х 2, х 3, x 4}.

Множество из четырех элементов можно обозначить буквами и цифрами, которые будут выступать в качестве индексов: х 1, х 2, х 3, x 4.Если мы хотим работать с множеством из nэлементов ( nможет изменяться в зависимости от задачи), они будут обозначаться { х 1, х 2…. х n-1, x n}. Так, х n - 1обозначает элемент, идущий перед х n, последним элементом множества. Произвольный элемент ряда (занимающий в нем i-е место) обозначается х i. Таким образом, например, цены четырех товаров можно обозначить p 1, р 2, р 3и р 4, а запрошенные объемы каждого товара — q 1, q 2, q 3и q 4.

* * *

Определенная сумма применяется при записи математических рядов, например биномиального ряда. Биномиальное распределение вероятности используется при анализе результатов опросов, когда на вопрос возможны лишь два ответа (например, «да» и «нет»). Вероятность их появления равняется ри q. А поскольку сумма их вероятностей равна р+ q= 1, следовательно, q = 1 — р.

Чтобы узнать вероятность того, что будет получено три или менее ответа «да», нужно вычислить вероятности следующих событий: ни одного ответа «да», один ответ «да», два ответа «да» или три ответа «да», то есть Р (0 < k < 3) = Р (0) + Р (1) + Р (2) + Р (3). Эту же формулу можно записать так: