Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

f(а, b, с, d) = (а+1, b+1, а + с + d+1, d +1), g (a, b, c, d) = (a+1, b, a+c +1, d );

Функция g будет той же, что и в предыдущем случае. Мы уже знаем, что она является функцией четвертого порядка. Вычислим порядок функции f. Для этого применим ее несколько раз, пока не получим тождественное преобразование. Если я не ошибаюсь, достаточно применить ее дважды:

83

f²(а, b, с, d) = f(а+1, b+1, а+с+d+1, d+1)

= ((а+1)+1, (b+1)+1,(a+1) + (a+c+d+1)+(d+1)+1,(d+1)+1)

= (а, b, с, d),

а также использовать упрощения, которые вы продемонстрировали выше.

Более того, f и g независимы, следовательно, порожденная ими группа изоморфна группе ℤ/2 х ℤ/4. Этого достаточно, чтобы доказать: рассматриваемое племя является несократимым, так как в группе ℤ/2 х ℤ/4 недостаточно элементов восьмого порядка для преобразования 16 разновидностей брака между собой.

ВЕЙЛЬ: Поздравляю вас, господин Леви-Стросс! Вы все поняли! В этом случае также можно показать, что общество является сократимым, применив новый, более прямой метод, который я вам сейчас объясню. Рассмотрим брак вида (а, b, с, d). Согласно нашим расчетам, сыновья от этого брака вступят в брак по правилу (a +1,b +1,a + c + cf +1,cf +1).

Важно заметить, что разность между первой и четвертой координатами равна:

(b+1)-(d+1)=b-d.

Точно такой же будет разность между первой и четвертой координатами в исходной разновидности брака! Математики говорят, что эта величина инвариантна относительно f. Более того, она также инвариантна относительно g, так как в этом случае вторая и четвертая координаты не меняются. Следовательно, композиция f и g позволяет получить только те правила, в которых значение b — d равно исходному. К примеру, начав с (1, 1, 1, 0), мы никогда не сможем получить (1, 0, 1, 0), так как в первом случае разность между второй и четвертой координатами равна 1, во втором — 0.

Это означает, что представители клана D2, которые вступают в брак по правилу (I), принадлежат к иной группе, чем представители клана С2, вступающие в брак по той же формуле. Выполнив некоторые действия, мы сможем определить эти две группы в явном виде:

Первая группа.

84

Вторая группа.

ЛЕВИ-СТРОСС: Любой сказал бы, что аборигены мурнгин знали теорию групп.

ВЕЙЛЬ: Когда система, которая на первый взгляд кажется невообразимо сложной, путем умелого выбора обозначений превращается в нечто столь простое, как абелева группа, я воспринимаю это как чудо. Я не осмелюсь сказать, что принцип, согласно которому любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери, был введен, чтобы доставить удовольствие математикам (это было бы уже слишком), но следует признать, что я до сих пор испытываю особую привязанность к аборигенам мурнгин.

Видя подобные примеры, сложно не согласиться с сонетом Микеланджело, в котором он говорит, что мраморная глыба уже содержит в себе произведение искусства, и задача художника — отсечь все лишнее:

Математик, подобно великому скульптору, высекает свои творения из необычайно твердого и прочного материала. Несовершенства материала столь сильно влияют на конечный результат, что наделяют его некоторого рода объективностью.

85

ЛЕВИ-СТРОСС: Помните, как в одной из наших бесед вы пообещали мне подробнее рассказать о задаче из вашей докторской диссертации?

ВЕЙЛЬ: Как я мог забыть об этом! Но в этот раз, если вы позволите, мы применим иной метод. Я написал несколько достаточно подробных заметок; прочитайте их, а затем спросите меня о том, что показалось вам непонятным. Вперед!

О жизни математика Диофанта Александрийского достоверно практически ничего не известно. Мы точно знаем лишь возраст мудреца из эпиграммы-задачи, записанной на его надгробии и приведенной в Палатинской антологии:

Если мы обозначим через х число лет, прожитых Диофантом, то получим следующее уравнение первой степени:

х = x/6+ x/12+x/7+5+x/2+4.

87

Выполнив несколько элементарных преобразований, получим, что Диофант прожил 84 года. Это уравнение намного проще, чем те, что обеспечили александрийскому мудрецу место в истории математики. В «Арифметике» Диофант впервые рассмотрел целые корни полиномиальных уравнений, которые сегодня в его честь называются диофантовыми. К диофантовым относится, например, уравнение

х n+ у n= z n.

Если показатель степени равен 2, это уравнение имеет бесконечно много положительных решений, но если n больше либо равно 3, уравнение решений не имеет. Первым на это обратил внимание француз Пьер Ферма, когда изучал «Арифметику» Диофанта.

На страницах книги Ферма написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Первое доказательство этой теоремы, названной великой теоремой Ферма, было получено лишь три с половиной столетия спустя. В этом доказательстве использовались намного более сложные методы, чем те, что были известны французскому математику. Несмотря на кажущуюся простоту, диофантовы уравнения принадлежат к числу труднейших задач математики, поэтому мы рассмотрим лишь простейшие из них: линейные уравнения, уравнение Пелля — Ферма и уравнения эллиптических кривых.

Прежде чем приступить к изучению диофантовых уравнений, проясним некоторые понятия. Так как в моих заметках упоминаются различные классы чисел, скажем о них несколько слов. С одной стороны, существуют натуральные числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... (к ним также иногда относят ноль). Для двух любых натуральных чисел определена операция сложения, однако она не может быть групповой: чтобы существовали обратные элементы, необходимо также рассмотреть отрицательные числа. Добавив отрицательные числа к натуральным, получим абелеву группу целых чисел: 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3. В действительности на этой структуре определена не одна, а сразу две операции: мы можем не только складывать целые числа, но и перемножать их. Операция умножения ненулевых целых чисел также не является групповой. Так, чтобы, к примеру, элемент 2 имел обратный, необходимо рассмотреть число 1/2. Чтобы устранить этот недостаток, необходимо рассмотреть все дроби вида а/b (где а и b целые числа, b отлично от нуля), которые образуют множество рациональных чисел. Каждому из них мы можем поставить в соответствие периодическую десятичную дробь: к примеру, для 1/3 такой дробью будет 0,3333..., для 2/11 — 0,181818... Если мы будем рассматривать только периодические дроби, то такие простые уравнения, как х 2= 2, не будут иметь решения, поскольку десятичная запись квадратного корня из 2 — непериодическая дробь.