Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

109

ЛЕВИ-СТРОСС: Вы понимаете, что мы вновь и вновь возвращаемся к одной и той же идее? Важна не частота отдельной ноты, а ее соотношение с другими частотами. Если мы умножим частоты всех нот в партитуре на одно и то же число, то попрежнему сможем узнать мелодию: она будет звучать выше или ниже в зависимости от того, будет ли выбранный множитель больше или меньше единицы. Поэтому очень важно понять соотношение между частотами нот звукоряда. Позвольте напомнить, что помимо до, ре, ми, фа, соль, ля и си существует еще пять нот. Представьте, что вам нужно настроить пианино. Как вам известно, белым клавишам пианино соответствуют ноты до, ре, ми, фа, соль, ля и си, о которых я говорил. Кроме того, между белыми клавишами располагаются черные клавиши меньшего размера, которым соответствуют альтерированные ноты. При их описании используются диезы (#) и бемоли (b). Если мы добавим диез к одной из семи «белых» нот, то получим ноту, соответствующую клавише, которая расположена справа. Диезы позволяют переходить от белых клавиш к черным за исключением двух случаев: ми-диез и си-диез соответствуют не новым нотам, а уже известным нотам фа и до, так как в обоих случаях рядом с соответствующей клавишей будет располагаться не черная, а белая клавиша. Бемоли имеют противоположное значение: если мы добавим бемоль к «белой» ноте, то перейдем на одну клавишу влево. К примеру, ноты ре-бемоль и до-диез совпадают, а фа-бемоль — это нота ми, так как ближайшая к ноте фа клавиша слева вновь будет белой. Диезы или бемоли используются в зависимости от ситуации.

Клавиатура пианино.

Следовательно, настройка пианино заключается в сопоставлении всем этим нотам определенных частот. Как и в примере с нотой ля, в разные годы использовались разные модели. К примеру, пифагорейцы определяли музыкальный строй как последовательность квинт. Мы говорим, что нота отстоит от другой на одну квинту, если интервал между ними охватывает восемь клавиш пианино.

110

Так, соль отстоит на одну квинту от до, так как между ними находятся клавиши до — до-диез — ре — ре-диез — ми — фа — фа-диез — соль. Аналогично, на одну квинту от соль отстоит нота ре. Название «квинта» указывает, что если мы смещаемся на восемь клавиш вправо, начиная с белой клавиши, то почти всегда отсчитываем пять белых клавиш, то есть пять нот. Но обратите внимание, что если мы начнем с ноты си, то получим фа-диез, которой соответствует черная клавиша. Это единственное исключение.

С помощью цепочки квинт можно определить все двенадцать нот музыкального строя.

ВЕЙЛЬ: Как я уже объяснял, господин Леви-Стросс, в пифагорейском строе ноты отстоят друг от друга на одну квинту, если их частоты относятся как 3 к 2. Для простоты предположим, что ноте до соответствует частота в 1 Гц. Так как соль отстоит на одну квинту от до, ее частота будет равна 1,5 Гц. Чтобы определить частоту ре, нужно будет вновь умножить частоту на 1,5. Получим 2,25 Гц — это означает, что нота ре выше, чем соль. На самом деле мы определили частоту верно, но для ноты другой октавы. Это частота ноты ре, которую мы получим, если продолжим последовательность соль-ля-си-до-ре. Необходимо понизить эту ноту на одну октаву, то есть разделить соответствующую частоту на 2. Следовательно, частота ноты ре равна 1,125 Гц. Аналогично можно вычислить частоты нот:

до → соль → ре → ля → ми → си → фа-диез.

Мы можем не только «подняться», но и «опуститься» на одну квинту, разделив частоту ноты на 1,5 Гц. Так как интервал между фа и до охватывает восемь клавиш, фа ниже до на одну квинту. Разделив ее частоту на 1,5 Гц и умножив на 2, чтобы скомпенсировать октаву, получим частоту в 1,333... Гц. Аналогично можно найти все остальные частоты:

соль-бемоль ← ре-бемоль ← ля-бемоль ← ми-бемоль ← си-бемоль ← фа ← до.

Чтобы определить современные частоты этих нот, достаточно вычислить коэффициент, при котором нота ля имеет частоту в 440 Гц, и умножить на него все остальные частоты. При использовании пифагорейского строя возникает одна проблема: обратите внимание, что мы вычислили частоты нот фа-диез и соль-бемоль, но на самом деле это одна и та же нота!

Следовательно, для точной настройки пианино с помощью пифагорейского строя эти две частоты должны совпадать. Нетрудно видеть, что это не так: если мы не будем учитывать смену октавы, то получим, что частота фа-диез определяется умножением на 1,5 шесть раз, а частота соль-бемоль — делением на эту же величину такое же число раз. Чтобы настройка была точной, частоты (3/2) 6Гц и (2/3) 6Гц должны быть разделены определенным числом октав.

111

Иными словами, отношение чисел (3/2) 6и (2/3) 6должно быть степенью двойки. Но это невозможно, так как 2 и 3 взаимно простые.

ЛЕВИ-СТРОСС: И поэтому появился равномерно темперированный строй?

ВЕЙЛЬ: Конечно, до него использовались и другие, но равномерно темперированный строй оказался наиболее успешным. Пианино настроено по равномерно темперированному строю, если отношение частот звуков, соответствующих двум соседним клавишам (вне зависимости от цвета), всегда одинаково.

Для математика это означает, что если мы обозначим последовательные частоты всех нот, начиная с любой ноты, к примеру до, до-диез, ре и так далее, через f 1, f 2, f 3... то отношение f 2к f 1будет равно отношению f 3к f 2, которое, в свою очередь, будет равняться отношению f 4к f 3и так далее. Если мы остановимся, к примеру, на f 13, то получим следующие равенства:

f 2/ f 1= f 3/ f 2= ... = f 13/ f 12

ЛЕВИ-СТРОСС: Но если мы отсчитаем тринадцать клавиш, начиная с любой ноты, то вновь получим исходную ноту, но на октаву выше.

Октава на клавиатуре пианино.

ВЕЙЛЬ: Интервалу в одну октаву соответствует удвоение частоты, следовательно, отношение f 13к f 1равно 2. Обратите внимание, что мы также можем записать

112

отношение f 13к f 1через все промежуточные частоты так, что частоты, записанные в знаменателе и числителе, последовательно сократятся:

f 13/ f 1= f 13/ f 12· f 12/ f 11· ... · f 3/ f 2· f 2/ f 1

В равномерно темперированном строе все множители в приведенном выше произведении равны одной и той же величине (обозначим ее через d). Следовательно, отношение f 13к f 1равно 2, а также равно числу d, умноженному само на себя 12 раз.

Таким образом, получим уравнение d 12= 2. С помощью этого уравнения для любой данной частоты мы всегда можем вычислить частоту следующей ноты, умножив ее на корень 12-й степени из 2, который равен примерно 1,05946. К примеру, если частота ноты ля, как мы уже говорили, равна 440 Гц, то частота ноты си (на две клавиши «выше») будет равна примерно 494 Гц, а частота ноты соль (на две клавиши «ниже») — около 392 Гц.