Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Используя определения гиперболических синуса и косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества, аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы можем проверить, что

ch(x + у) = chx· chy + shx· shy

аналогично традиционному выражению

cos(x + у) = cosx· cosy + sinx· siny

* * *

ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin 2x + cos 2x = 1. Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:

ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ

В евклидовой терминологии синус и косинус называются круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат. Уравнение этой окружности записывается как х 2+ у 2= 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х = cost и у = sint. Здесь х и у удовлетворяют соотношению х 2+ у 2= 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.

Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х 2— у 2 = 1, то х = cht и у = sht удовлетворяют соотношению х 2 — у 2 = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».

Эти графики нам уже знакомы. Гипербола напоминает нам псевдосферу.

* * *

Что касается тангенсов, то можно показать, что

аналогично традиционному выражению

* * *

ЕВКЛИДОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические тождества для суммы и разности выглядят следующим образом:

sin(x + у) = sinx· cosy + cosx· siny

cos(x + у) = cosx· cosy — sinx· siny

sin(x — y) = sinx· cosy — cosx· siny

cos(x — y ) = cosx· cosy + sinx· siny

* * *

РЕШЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО УГЛАМ

Пусть в гиперболическом треугольнике даны внутренние углы А = 8°, В = 22° и С = 40°. Надо найти угловой дефект и длины сторон треугольника.

Угловой дефект считается по формуле 180° — (8° + 22° + 40°) = 110°. Для вычисления длин сторон мы воспользуемся гиперболической теоремой косинусов и получим

Это позволяет нам вычислить значение а . Для этого воспользуемся калькулятором и посчитаем функцию, обратную гиперболическому косинусу. Получим значение 2,642857562. Далее

что дает нам длину b = 3,628644458. И наконец

К счастью, современные калькуляторы имеют эти функции, и расчеты можно делать без утомительных промежуточных вычислений.

* * *

Аналогично можно проверить другие соотношения с помощью определений гиперболических синуса и косинуса.

По таблице традиционных тригонометрических тождеств можно составить аналогичные соотношения гиперболической геометрии. Просто надо от функций sin х и cos х перейти к гиперболическим функциям sh х и ch х соответственно, внося необходимые поправки, поскольку, как мы видели, разница состоит не только в обозначениях. Необходимо, например, изменить знак каждого члена, содержащего произведение двух гиперболических синусов.

Это простое правило позволяет получить соотношения для гиперболической тригонометрии из их евклидовых аналогов:

sh(x + у) = shx· chy + chx· shy

sh(x — у) = shx· chy — chx· shy

ch(x + y) = chx· chy + shx· shy

ch(x — y) = chx· chy — shx· shy

Как мы видели, гиперболическая тригонометрия похожа на традиционную, изучаемую в школе: обе имеют аналогичные соотношения. Приведенные ниже выражения содержат функции из обеих тригонометрий.

Рассмотрим треугольник с углами А, В и С и сторонами а, b и с , как показано на рисунке:

Для него справедливы следующие соотношения:

1) гиперболическая теорема косинусов для углов:

cos А = — cos В · cos С + sin В · sin С· ch а ;

2) гиперболическая теорема косинусов для сторон:

ch а = ch b · ch с — sh b · sh с · cos А ;

3) cos А = ch а · sin В ;

4) β /2 = α .

Приведенные выше выражения также справедливы, если мы заменим а, Ь, с и А, В, С на Ь, с, а и В, С, А соответственно в результате так называемой круговой перестановки. Таким образом мы можем составить полную таблицу соотношений между традиционной и гиперболической тригонометриями.

Имя немецкого математика Бернхарда Римана вписано большими буквами в историю математики. Эллиптическая геометрия — это удивительное детище его математического гения. Именно он представил прямые линии на таких поверхностях, как шар или мяч для регби, в виде окружностей.

Поверхность эллипсоида наиболее часто используется для визуализации и интерпретации эллиптической геометрии, отсюда и термин «эллиптическая геометрия».

Чтобы наиболее ясно продемонстрировать свойства этой геометрии, мы рассмотрим поверхность сферы, которая представляет собой самый простой, частный случай эллипсоида.

С помощью эллипсоида можно представить эту геометрию в очень интересной форме. Рассмотрим сначала более подробно поверхность эллипсоида.