Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Для данного прямоугольника со сторонами а и b площадь S поверхности, ограниченной его сторонами, определяется как произведение его длины на ширину: S = а · Ь . Так как всякий треугольник является половиной некоторого прямоугольника, его площадь равна половине площади этого прямоугольника. Как можно видеть на следующем рисунке, площадь треугольника АВС равна половине площади прямоугольника APQC , основанием которого является сторона АС треугольника, а ширина равна высоте A , опущенной на основание АС :

Следовательно, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

S = (1/2)· A · C · h

Любую плоскую фигуру можно разбить на несколько треугольников. Вычисление площади фигуры равносильно вычислению суммы площадей составляющих ее треугольников. Но как быть в случае, если фигура ограничена не прямолинейными, а криволинейными отрезками?

Простейшей криволинейной фигурой является круг. Задача о вычислении площади круга очень древняя, а задача о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга, с помощью циркуля и линейки — одна из трех классических задач геометрии.

Каково соотношение между площадью круга и площадью квадрата? В первом приближении площадь круга радиуса r можно оценить площадями вписанного и описанного квадрата:

Площадь круга S с заключена между площадью квадрата с диагональю 2r и площадью квадрата со стороной 2r . Среднее значение этих двух площадей и будет первым приближенным значением площади круга S :

Сегодня нам известно, что этот результат не соответствует действительности, так как площадь круга равняется не 3 r 2, а πr 2. Тем не менее в Древнем Египте соотношение между длиной окружности и ее диаметром принималось равным 3, хотя нетрудно видеть, что если окружность радиуса r совершит полный поворот, пройденная ею длина будет больше, чем ее утроенный диаметр. Однако сейчас нас интересует не поиск точного значения π, а переход от площади прямоугольника или треугольника к площади круга.

Можно построить вписанный и описанный равносторонний треугольник для данного круга, однако в этом случае задача только усложнится, а полученный результат будет не точнее предыдущего. Продолжив аналогичные рассуждения, придем к выводу, что если мы построим для данного круга вписанные и описанные многоугольники с большим числом сторон, то сможем вычислить его площадь с большей точностью. Результат будет тем точнее, чем больше сторон будет у этих многоугольников.

В пределе (если такая ситуация вообще возможна) мы получим два многоугольника с бесконечным числом сторон, площади которых будут равны площади круга.

Следовательно, достаточно рассматривать либо вписанные, либо описанные многоугольники, так как в пределе они совпадут.

Именно так рассуждал Архимед. Вместо того чтобы рассмотреть многоугольник с п сторонами, он начал с правильного шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон. Он дошел до многоугольника с 96 сторонами и вычислил приближенное значение числа π и площади круга с очень хорошей точностью:

Но заслуга Архимеда состоит не в том, что он провел такие трудоемкие расчеты. Во-первых, он показал, что большую часть вычислений можно опустить, если на данном этапе известны периметры и площади вписанного и описанного многоугольника — периметры и площади соответствующих многоугольников на следующем этапе можно вычислить как среднее гармоническое и среднее геометрическое.

Во-вторых, он разработал итеративный метод, на каждом шаге которого полученный результат был точнее, чем на предыдущем. Архимед открыл путь, ведущий к бесконечности. Пройти по этому пути до конца невозможно, но вполне возможно вычислить, что ждет нас в конце.

* * *

АРХИМЕД В XXI ВЕКЕ

С помощью тригонометрии и современных технологий можно повторить вычисления Архимеда, используя рекурсивный метод, в котором применяются правильные многоугольники с числом сторон, равным 2 n. Площадь 2n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, равна:

Тригонометрия помогает увидеть, что закон, которому подчиняются площади многоугольников, определяется синусами углов вида π/(2 n). Этот закон позволяет найти площадь круга S c:

Компьютер способен вычислить площадь многоугольника с 1024·2 10сторонами по предыдущей формуле и показать, что результат близок к ожидаемому: S 1024= 3,1415923…

* * *

Круг — простейшая из криволинейных фигур. Как же вычислить площадь любой другой фигуры? Зная формулу, которая описывает часть кривой, ограничивающей фигуру, математики могут найти площадь этой фигуры с помощью метода, схожего с методом Архимеда. Допустим, что мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой у = х 3между началом координат (0,0) и точкой (1,0).

Эта фигура на иллюстрации выделена серым цветом:

Первым приближением искомой площади будет площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках (0,0), (1,0) и (1,1), равная 1/2. Однако это значение чрезвычайно далеко от истинного.

Метод, о котором мы расскажем далее, называется методом исчерпывания. Архимед использовал его более 2000 лет назад для вычисления площади, ограниченной участком параболы. Первым приближением площади искомой фигуры была площадь треугольника, по форме напоминающего эту фигуру. Теперь мы будем вычислять площадь прямоугольника.

Разделим интервал [0,1] на четыре равных интервала и построим на каждом из них по два прямоугольника — высота одного из них будет равна значению функции на левом конце интервала, высота другого — значению функции на правом конце интервала. Так как f (0) = 0 3= 0, высота первого прямоугольника будет равна 0: