Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Портрет Гаусса .

Этот немецкий математик доказал, что правильный 17-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

До сих пор мы говорили о наиболее типичном аспекте математической деятельности — о том, как человек, сталкивающийся с событиями и явлениями, пытается объяснить их с точки зрения математики. Мы не углублялись в культурные и социальные аспекты математики, хотя в первой главе отметили, что именно они играют основную роль в ее развитии.

Математика формируется в рамках определенного социального и культурного контекста, который в значительной степени определяет ее развитие как внутри научной среды, так и вне ее. Следовательно, социокультурные факторы влияют на математическое творчество, так как придают одним задачам большую важность, чем другим, и если в одной культуре определенные задачи считаются очень важными, то в другой культурной среде им не уделяется никакого внимания.

Этноматематика — это раздел науки, изучающий развитие математики в определенных группах культур. Благодаря этноматематике мы знаем, что в разных частях света люди по-разному производят вычисления, по-своему воспринимают геометрические фигуры и используют для решения одних и тех же задач разные алгоритмы. С одной стороны, это доказывает творческую природу каждой культуры, с другой стороны — делает возможным межкультурное взаимодействие.

Далее мы вкратце расскажем о том, как автор этой книги накапливал новые математические знания вне своей научной среды и вне родной ему западной культуры. Надеемся, что читатель снисходительно отнесется к крайне субъективному характеру повествования.

Пока что мы всегда говорили об эвристике в рамках определенной культуры — как в пределах академической среды, так и за ними. Теперь мы выйдем за рамки нашей культурной парадигмы и посмотрим, как математическое творчество соотносится с различными культурными и социальными аспектами, как оно связано с ними.

Мы уже говорили, что первый шаг на пути к математическому творчеству — это начать задавать вопросы о том, что нас окружает. Что может быть лучше, чем выйти из дома и начать наблюдать, изучать новое, испытывать незнакомые ощущения?

Математики нечасто путешествуют. Мы не имеем в виду путешествия, связанные с научной работой, которые проходят в привычном для ученых контексте. Мы говорим о путешествиях с целью узнать что-то новое, познакомиться с новыми людьми, новыми культурами и обычаями, новым образом жизни и образом мыслей. К таким путешествиям не относятся организованные поездки, так как в них туриста окружает значительная часть привычной среды — хотя бы минимальные удобства, транспорт, гид-переводчик и попутчики, принадлежащие к родной культуре.

Погружения в другую культуру выглядят совершенно иначе: в них путешественник покидает привычный культурный контекст. В течение короткого промежутка времени он старается жить максимально похоже на то, как живут местные, вести себя так же, как они, есть ту же еду и в тех же ресторанах и кафе, он поселяется в тех же гостиницах, куда селятся местные жители, когда они отправляются в поездки.

В подобных путешествиях мы понимаем, что обычная жизнь представителей разных культур отличается: в разных странах люди говорят на разных языках, у них разные верования и обряды, социальная и политическая организация, система ценностей, гастрономия, архитектура, искусство, музыка, литература и многое другое, что составляет самобытность страны. Путешественник стремится найти сходства и различия между этой культурой и культурой родной страны. Так он не только близко знакомится с новой страной, но и лучше узнает самого себя и, как следствие, свою культуру.

Кто-нибудь думал о математике во время путешествия? Когда лодка несет нас по водам Ганга, мы смотрим на клубы дыма, поднимающиеся от кремируемых тел, чей прах затем будет развеян по реке. Сидя на песке, мы смотрим на звездообразный силуэт пальмы в лучах закатного солнца, на то, как она колышется на ветру. Сидя на полу храма, мы восхищаемся неизмеримым множеством деталей: вот священник в клубах благовоний освящает подношения, служки в разноцветной одежде, повторяющаяся музыка гамелана, скульптуры внутри храма, декорации из бамбука и сплетенных листьев, корзины с экзотическими фруктами… Может ли кто-нибудь думать о математике, видя вокруг себя все это великолепие?

Это невозможно. Тем не менее, проведя некоторое время в чужой стране, мы привыкаем к экзотике. То, что раньше казалось странным, теперь привычно. И в этот момент мы можем заняться тем же, чем занимались дома. Когда этот первый этап пройден, но поездка еще не закончена, путешественник в свободные минуты может задуматься о чем-то привычном, свойственном его среде.

В эквадорском городе Баньос я впервые в жизни начал разговор о математике, находясь далеко от дома, — я разговорился с немецким туристом, который интересовался теоремами о собственных значениях.

Второй подобный разговор произошел несколько лет спустя, когда я взял с собой в Индонезию тетрадь с заметками и книгу по математике, чтобы подготовить курс лекций. Путешествие обещало быть долгим, и я планировал пробыть на одном месте несколько недель. Музыка и литература помогли мне воссоздать привычное рабочее место, очень похожее на то, что было у меня дома. Сначала это казалось мне странным, но постепенно я привык заниматься математикой в тропиках. Именно тогда мне пришла в голову описанная ниже задача об оптимизации: на мысль о ней меня навели острова Молуккского архипелага, разделенные проливом шириной всего два километра: Тернате, имеющий почти идеально круглую форму, и соседний с ним остров Тидоре.

Задача формулируется следующим образом. Даны два круглых острова, на каждом из них есть всего одна дорога, идущая вдоль побережья. Один человек находится в точке Р на дороге, проложенной на одном острове, и ему нужно попасть в точку Q на дороге, расположенной на другом острове, как показано на рисунке. Как найти кратчайшую траекторию?

Все возможные траектории, проходящие по островам, будут иметь форму дуг окружности. С одного острова можно попасть на другой, двигаясь вдоль прямой линии. Вспомним рекомендации Пойа и сведем задачу к простейшему случаю, затем будем рассматривать все более сложные случаи и в итоге найдем общее решение.