Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Когда математики получили возможность посмотреть, как тораджи создают узоры, и пообщаться с мастерами, они поняли, что некоторые их методы не относятся к геометрии Евклида. Граверы создавали узоры с высокой точностью: чаще всего каждый узор наносился с помощью сетчатой ткани, в некоторых случаях — поверх заранее намеченных эскизов. И всегда тщательно проведенные линии служили основой для фигур, которые наносили на гравюру позже.

Когда западные математики увидели, как мастера проводят линии сетки, то поняли, что тораджи строят параллельные и перпендикулярные линии не по методам, описанным Евклидом в «Началах», а согласно приближенным алгоритмам, которые казались намного менее строгими, чем можно было подумать, глядя на конечный результат. Параллельные линии и окружности были построены с очень высокой точностью с помощью циркулей, подобных европейским (на их обеих ножках имелись иглы, которыми можно делать отметки на деревянной поверхности), и циркулей из бамбука традиционной конструкции. Мастера ничего заранее не измеряли и не проводили никаких расчетов. Бамбуковая рейка служила как для измерений и откладывания размеров, так и для построения прямых линий.

Мастер тораджи рисует ряд спиралей.

Спираль, нарисованная от руки в углу сетки.

При этом мастера должны были решать важную задачу: перед тем как провести линии сетки на прямоугольной панели, где затем изображался узор, необходимо было отметить концы линий на краях панели. Две, три, четыре, шесть и восемь равноудаленных точек определялись методом проб и ошибок. Одни мастера использовали для этого бамбуковую рейку, другие — циркуль, и все они при этом отмечали точки в нужных местах и с поразительной быстротой.

Бамбуковый циркуль.

Сначала я подумал, что мастер хотел разделить сторону панели на две, три, четыре, шесть и восемь равных частей и что указанные им точки и станут концами линий сетки, поверх которой будет наноситься гравюра. Он действовал иначе, чем поступил бы я: я измерил бы сторону панели и разделил ее длину на нужное число частей, а затем отметил бы соответствующие точки. В распоряжении мастеров были линейки с миллиметровыми делениями и калькуляторы, однако они не пользовались этими инструментами, а применяли свой способ, достаточно эффективный и надежный: я видел, как они работают, собственными глазами.

Тогда я задумался: как бы решил эту задачу я, имея их инструменты? Я бы отмерил на глаз половину, треть и четвертую часть стороны, которую требовалось разделить на две, три или четыре равные части. Я отметил бы точку, примерно обозначавшую середину стороны, на бамбуковой рейке, а затем отложил ее на стороне прямоугольной панели, которую требовалось разделить. Затем я передвинул бы рейку так, чтобы ее конец совпал с отметкой, нанесенной на панели. Если я отмерил середину панели точно, то точка, отмеченная мной на середине бамбуковой рейки, совпала бы с краем панели.

По-видимому, мастера действовали точно так же. Однако суть задачи заключалась в другом: если нужные точки не совпадали, это означало, что я определил середину панели неверно. Как исправить эту ошибку? Мастера работали так быстро, что было сложно уследить, в чем заключалась суть их метода. Казалось, что они, на основе проб и ошибок, несколько раз отмечали нужную точку, пока не получали желаемый результат. Но как им удавалось без всяких расчетов находить нужные точки так быстро? Возможно, я недооценивал их метод, и он был намного эффективнее, чем мне казалось?

На следующее утро мы сели в автобус. Был солнечный день, нас ожидала долгая дорога, поэтому в начале пути я занимал себя тем, что наблюдал, как просыпалась жизнь на рисовых полях и в деревнях, мимо которых мы проезжали. Я чувствовал себя прекрасно, и мой разум переключался между реальностью и выдумкой.

Я попеременно видел сначала то, что в действительности находилось передо мной, затем — какие-то воображаемые картины. Внезапно у меня возник вопрос: как исправить ошибку измерений и получить точный результат?

Я вновь представил себе мастеров за работой, с бамбуковой рейкой в одной руке и с карандашом — в другой. Я отметил середину рейки на глаз, затем перенес отметку на край деревянной панели. Затем я сдвинул рейку до конца. Конец рейки и край панели не совпали — я ошибся, но… Эврика! Как же я раньше не додумался? Чтобы исправить ошибку, нужно было найти половину допущенной ошибки и прибавить (или вычесть) ее к исходной оценке в зависимости от того, в какую сторону я ошибся — в большую или в меньшую. Так я нашел решение: эта сумма или разность половин и была равна искомой половине стороны панели. Если же панели требовалось разделить на три части, следовало действовать так же: нужно было прибавить или отнять треть величины, на которую мы ошиблись. Если, повторив эти действия дважды, я не получал удовлетворительный результат, следовало повторить все с самого начала.

Мастер исправляет ошибку, допущенную при измерении на глаз.

Пусть L — длина отрезка, который мы хотим разделить на три части. Сначала определим треть отрезка на глаз. Отметим на отрезке три точки, обозначающие отрезки длиной a 1 , 2 a 1 и 3 a 1 (см. рисунок на следующей странице).

Если последняя точка совпадает с концом отрезка, то наше решение верно. В противном случае требуется исправить допущенную ошибку Е . Как это сделать? Нужно найти ее треть, Е /3, и прибавить или отнять ее от первой оценки at в зависимости от того, в какую сторону мы ошиблись, большую или меньшую:

а 1 ± E /3.

Мы получим новую оценку, а 2 , затем повторим эти же действия сначала.

Последовательные оценки образуют ряд, сходящийся к правильному результату, так как найти середину или треть очень маленького отрезка, длина которого равна величине ошибки, намного проще, чем найти длину исходного отрезка. У мастеров был острый взгляд, поэтому описанный выше алгоритм должен был привести к желаемому результату. Так и происходило.

Математический анализ задачи подтвердил мои ожидания: числовой ряд сходился к желаемому результату. Тогда я задал себе еще один, возможно, более сложный вопрос, который, однако, был крайне важен в моих исследованиях, посвященных математическим методам мастеров тораджи: думают ли они так же, как я? Я не мог просто подойти и задать им этот вопрос. Нужно было сделать так, чтобы они сами объяснили, как они рассуждают, решая эту задачу.