Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

В этом видении математики наука и образование идут рука об руку, а обучение математике определяется обществом и культурой. Историки математики упоминают о важных для развития этой науки цивилизациях древнего мира: это Древняя Месопотамия, Древний Египет, Древняя Греция, древняя Аравия, древняя Индия и древний Китай. Все это мертвые цивилизации.

Историки сходятся в том, что математика берет начало в глубокой древности, когда зарождался сам язык, когда еще не существовало ни западной культуры, ни цивилизации вообще. Если мы будем считать создание и распространение систем счисления началом математической деятельности человечества и, подобно выдающимся историкам науки, будем полагать, что системы счисления были созданы до того, как появилась письменность, то остается сделать последний вывод: математика зародилась не только за рамками нашей культуры, но и задолго до ее рождения.

Накопленные математические знания и наследие Платона заставляют думать, что математика представляет собой череду открытий, однако в этой науке не открывают — здесь создают. Процитируем испанского логика Жузепа Пла:

«…Математика, практически так же, как язык, является продуктом человеческого разума и обладает собственной жизненной силой, что заставляет думать, что она существует независимо от математических знаний и математического творчества. Позволю себе решительно заявить — эта точка зрения ошибочна».

Проиллюстрируем это представление на примере. Допустим, что животные собрались на водопой. Некий человек, посмотрев на них, опишет их множеством способов и сформулирует множество вопросов о них. Но эти описания и вопросы будут определяться его культурой. При этом математики-формалисты указывают, что на водопой собралось, например, семь животных, и их число не зависит от наблюдателя. Мы нашим примером хотим подчеркнуть, что число семь определяется нашей культурой, так как наблюдатель умеет считать, умеет различать «много» и «мало» и ему интересно, сколько же именно составляет «много», а сколько — «мало».

Однако человек, насчитавший семь животных, возможно, упустил из виду что-то, что находится у него перед глазами и доступно его чувствам, поскольку особенности его культуры не позволяют ему сформулировать вопросы об этом на своем языке.

Откуда мы знаем, что эти незаданные вопросы не относятся к сфере математики и не являются такими же важными, как вопрос о числе животных на водопое?

Поэтому разумно утверждать, вслед за Хершем и Эрнестом, что известная нам математика является продуктом человеческого общества и культуры. Следовательно, в разных культурах она будет отличаться. И это действительно так. Разве неевклидова геометрия, созданная в буржуазной Европе XVIII века, не отличается от древнегреческой геометрии Евклида, созданной 2500 лет назад?

Вся математика Евклида имеет конечный характер. В ней отсутствуют итеративные процессы и понятие предела. В этом контексте дифференциальное исчисление нельзя рассматривать как нечто относящееся к математике. Сегодня степень математической глобализации такова, что все возможные различия нивелировались.

Евклидова, проективная, сферическая, фрактальная геометрия, метод конечных элементов, рекуррентные формулы, использование простейших (линейка, циркуль) и сложных приспособлений (компьютерные программы) — все это и многое другое мы объединяем одним названием: «математика». Теперь все перечисленное выше образует единое целое, но раньше это было не так.

По легенде, когда великий математик и мудрец Архимед принимал ванну, ему пришла в голову идея (озарение?), что объем тела, погруженного в воду, равен объему вытесненной им воды, и он воскликнул «Эврика!», то есть «Нашел!». Подобное счастливое озарение было и остается примером математического творчества. Однако это кажущаяся спонтанность. Другие великие математики, например француз Анри Пуанкаре, переживали похожие моменты и рассказывали о том, как и когда на них снизошло вдохновение.

Как в мозгу человека зарождаются удивительные идеи? В результате чего они возникают? Ответы на эти вопросы нужно искать не в математике, а в психологии.

В начале прошлого века Пуанкаре предложил описание того, как работает ум математика, и представил его Парижскому психологическому обществу. Он начал свой доклад с двух парадоксальных вопросов: «Как может кто-то не понимать математики вообще или с трудом понимать ее? Возможны ли в математике ошибки?»

* * *

АРХИМЕД ИЗ СИРАКУЗ(287–212 ГОДЫ ДО Н. Э.)

Он умер от рук римского солдата, который не знал о приказе консула Марцелла сохранить ученому жизнь. По легенде, солдат не пощадил изобретателя, который был погружен в математические размышления, в то время как в его доме орудовали римские воины. К наиболее важным открытиям Архимеда относятся: правило рычага, приближенное вычисление площади круга, решение задачи о трисекции угла, вычисление площади сегмента параболы и площади сферического сегмента, а также труд о шаре и цилиндре.

Профиль Архимедаизображен на медали Филдса, которая каждые четыре года вручается одному или нескольким математикам в возрасте до сорока лет. Филдсовская премия в математике считается аналогом Нобелевской премии.

* * *

Первый вопрос возникает, когда мы утверждаем, что в основе математики лежит логика с ее основополагающими и всеобщими принципами. Второй вопрос возникает, если мы считаем, что математик — это некий мудрец, который в своей работе руководствуется законами логики, и поэтому не может совершать ошибок. При этом некоторые люди прекрасно разбираются в бытовой логике, но при этом не способны понять математическое доказательство, состоящее из кратчайших логических рассуждений. А сам Пуанкаре признавался, что не мог складывать числа без ошибок!

Он же указывал: крайне важно, что математическое доказательство является не совокупностью силлогизмов, а их последовательностью, при этом порядок их расположения намного важнее, чем они сами. Если математик четко представляет себе этот порядок, ему не нужно бояться, что он забудет о каком-то из шагов доказательства. Однако способностью видеть связи, в том числе неявные, между на первый взгляд совершенно разными вещами, по-видимому, обладают не все. Именно эта способность, по мнению Пуанкаре, отличает тех, кто может творить математику, от тех, кто может изучать, понимать и применять ее.