Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления

* * *

Нет сомнений, что важнейшим вкладом индийских математиков в науку была созданная ими система счисления, которую мы называем арабской. В действительности арабы заимствовали ее у индийцев. Индийские цифры произошли от системы записи, которая использовалась во времена короля Ашоки(272–231 гг. до н. э.) для записи текстов на древнем языке пракрите. Тем не менее по пути на Запад индийские цифры неоднократно видоизменялись, поэтому современные цифры не похожи на придуманные индийцами. Современные цифры — одна из версий древних цифр на пракрите, которые попали в Северную Африку, претерпев некоторые изменения, и стали известны в Европе в Средние века.

Некоторые индийские цифры, описанные математиком Ариабхатой.

(Источник: Джордж Ифра, «Всеобщая история чисел».)

Позиционная система счисления также имеет индийское происхождение. Изначально индийцы записывали числа с помощью символов, обозначавших цифры от 1 до 9; десятки от 10 до 90 обозначались другими цифрами. Числа, кратные 100, 1000 и так далее обозначались символами, соответствовавшими единицам, рядом с которыми записывались символы, обозначавшие 100, 1000 и далее. Позднее эта система записи упростилась, и впервые в истории возникла позиционная система счисления, в которой использовались только символы, соответствующие цифрам от 0 до 9. Когда именно произошло это изменение, точно неизвестно, но большинство источников указывает в качестве наиболее вероятной даты 600 год. Так, в сирийском тексте 662 года уже используются индийские цифры.

Согласно одной из теорий, эта система счисления зародилась на границе с Китаем, так как в этом регионе применялся абак, и возникла необходимость в упрощенной записи расчетов, произведенных с помощью абака. Рождение позиционной системы счисления, возможно, связано с использованием точки для обозначения пустого разряда на абаке. Документальное подтверждение этому содержится в тексте VII века, найденном на северо-западе Индии в деревне Бакшали в 1881 году. Когда на смену этой точке пришел ноль, произошла революция. Ноль впервые упоминается вместе с остальными цифрами в 628 году, когда Брахмагупта в своей книге «Исправленный трактат Брахмы» определил его как результат вычитания числа из себя самого.

Как бы то ни было, в 870 году позиционная система счисления уже повсеместно применялась в Индии. Из Индии она попала в Багдад, откуда позднее распространилась по всем территориям, где прослеживалось влияние мусульманской культуры. В Китае позиционная система счисления с особыми символами стала использоваться начиная с эпохи династии Мин (1368–1644). В книгах по математике китайские символы были заменены арабскими цифрами лишь в начале XX века.

Древнейшая арабская книга, дошедшая до наших дней, где употребляются арабские цифры и позиционная система счисления, — это трактат «О началах индийской арифметики» Кушьяра ибн Лаббана. Эта работа выделяется не только тем, что в ней впервые использованы арабские цифры, но и оригинальностью содержания. В этой книге наряду с прочими цифрами употребляется ноль, называемый «сифр».

* * *

НОЛЬ И ЦИФРА

Слова «ноль» и «цифра» имеют очень похожее происхождение. Слово «цифра» происходит от арабского «сифр» — видоизмененного индийского «сунья». Исходное значение этого слова — «пустой». Фибоначчи в своей «Книге абака» ( Liber Abaci ), которая способствовала популяризации арабских цифр в Европе, упоминал слово zephyrum , которое на латыни и греческом означало «западный ветер», возможно, потому, что это слово было схоже с арабским «сафира», означавшее «быть пустым», которое, очевидно, было связано со словом «сифр» — «пустой».

КУШЬЯРИБН ЛАББАН

Персидский астроном и математик Кушьяр ибн Лаббан(971-1029) родился в Гиляне, к югу от Каспийского моря. Среди его трудов особое место занимает трактат «О началах индийской арифметики», однако он также был автором множества книг и собраний таблиц, которые передавались мусульманскими учеными из поколения в поколение. Он был учителем знаменитого математика ан-Насави. В своем трактате по арифметике он вводит арабские цифры и объясняет, как с их помощью выполняются основные действия: сложение, вычитание, деление на два, умножение, деление, вычисление квадратных и кубических корней.

* * *

До того времени многие арабские тексты представляли собой переводы с греческого, однако в X–XI веках эта тенденция радикально изменилась. На рубеже тысячелетий, когда жил Кушьяр ибн Лаббан, в мусульманском мире стали в изобилии появляться математические тексты, содержавшие новые важные результаты. По сути, именно мусульмане дополнили дробями позиционную систему счисления, которая до этого использовалась только для записи целых чисел.

Индийцы также не устояли перед тайной числа π. Мадхаваиз Сангамаграма(1350–1425), основатель математической и астрономической школы в Керале, открыл, помимо прочего, разложение тригонометрических функций синуса и косинуса в бесконечный ряд и определил число π с помощью разложения в ряд для функции арктангенса.

Он выразил π следующим образом:

π / 4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + … + (-1) n/(2 n +1) + …

Кроме того, он дал оценку ошибке при вычислении числа π через n членов этого ряда. Эти расчеты требовали обширных знаний в области рядов. Позднее разложение арктангенса в ряд было повторно открыто Джеймсом Грегори и использовано Готфридом Лейбницем для вычисления π . По этой причине этот ряд известен как ряд Лейбница и ряд Грегори — Лейбница. Лишь сравнительно недавно он получил название ряд Мадхавы — Лейбница в честь истинного первооткрывателя.

Разложение арктангенса в ряд выглядит следующим образом:

arctg x = х — ( х 3)/3 + ( х 5)/5 — ( х 7)/7 + …

Этот ряд крайне неэффективен для вычисления π . Причина в том, что для верного расчета 10 знаков я потребуется выполнить 10 миллиардов математических действий.

В начале Средневековья образование в Европе держалось на трудах и авторитете поздних римских авторов, в частности Боэция. Образование в средневековых университетах следовало модели, введенной в V веке философом Марцианом Капеллой, автором трактата De Nuptiis Philologiae et Mercurio («О браке Филологии и Меркурия»), также известного как De septem disciplinis («О семи дисциплинах»), в котором он впервые разделил науки на тривиум и квадривиум.