Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления

120 = 5·3·2·2·2 = 2·5·2·2·3.

* * *

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, МЕНЬШИЕ 1000

Ниже перечислены простые числа, меньшие 1000. Они будут интересны тем, кто хочет проверить их знаменитые свойства, не затрудняя себя поиском.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

* * *

Греки изучили простые числа подробнейшим образом: они дали им определение и доказали их важнейшие свойства. Считается, что они были известны древним египтянам, однако не сохранилось никаких результатов, связанных с простыми числами, которые были бы получены предшественниками древних греков.

В 300 г. до н. э. Евклид, который работал в Александрии во времена правления Птолемея I (323–283 гг. до н. э.), в эпоху слияния египетского и греческого, обнаружил самое удивительное и важное свойство простых чисел. Он изложил его в своем трактате «Начала геометрии» — одном из важнейших трудов в истории математики. В нем заложены основы евклидовой геометрии, которая использовалась во всем мире на протяжении следующих двух тысяч лет. В предложении 20 книги IX «Начал» доказывается, что простых чисел бесконечно много.

Евклид рассматривает множество простых чисел S = { р 1, р 2 …, р n } и показывает, что число N = p 1 · р 2 ·… · р n + 1 не делится на р 1 , поскольку при делении на p 1 остаток равен 1. Аналогично N не делится на р 2 …., р n , так как при делении N на р 2 …, р n остаток будет равен 1. Следовательно, N либо простое, либо является произведением простых чисел, не содержащихся в S . Таким образом, множество S не содержит в себе все простые числа. Так как S было выбрано произвольно, конечного перечня простых чисел не существует. Как следствие, перечень простых чисел бесконечен.

Фрагмент «Афинской школы» Рафаэля, на котором изображен автор знаменитых «Начал геометрии» Евклид.

Математика и математическая нотация в Древнем Риме не были столь развитыми, как в Греции и Вавилоне. Центр империи, столь плодородной в других областях, не подарил миру ни одного выдающегося математика. Во времена Рима важные события в математике происходили не в столице, а на периферии, в районах, где ощущалось влияние Греции и продолжались традиции греческой математики. Считается, что римская математика принадлежит к совершенно обособленной традиции и не связана ни с греческой, ни с вавилонской, а имеет этрусское происхождение. Основными авторами этого периода, продолжавшими греческие традиции, были Клавдий Птолемей, автор уже упомянутого «Альмагеста», Диофант и Папп Александрийский.

Диофант был автором книги под названием «Арифметика», Папп написал восемь книг с комментариями к трудам классических авторов.

Сам Цицерон признавал ограниченность римской математики в своих «Тускуланских беседах». Он пишет:

« Далее, выше всего чтилась у греков геометрия — и вот блеск их математики таков, что ничем его не затмить; у нас же развитие этой науки было ограничено надобностями денежных расчетов и земельных межеваний » («Тускуланские беседы», I, 5).

Пон-дю-Гар. Фотография Эдуарда Бальдю, середина XIX века. Этот акведук, который также служил мостом для экипажей, был построен римскими инженерами, которые в своих работах использовали математические знания Античности.

Однако этот вопрос, как и любой другой, следует рассматривать в перспективе. Возможно, римляне не совершили значительных открытий в математике и вычислениях, и греческая математика осталась непревзойденной. Однако нет никаких сомнений в том, что римляне были великими инженерами древности, а это невозможно без глубоких знаний математики. Многие из их инженерных и архитектурных шедевров сохранились до наших дней благодаря тому, что при их постройке использовались удивительные решения, и, разумеется, благодаря обширным знаниям математики, которые применялись при строительстве. Как следствие, римляне создали множество текстов о технологии строительства, среди которых стоят особняком работы самого известного архитектора — Витрувия.

Римская нотация очень популярна, так как она широко используется и поныне. Римские цифры приведены в таблице ниже.

Позднее, после изобретения книгопечатания, символ |)был заменен на D. (|) — на М. Также были созданы обозначения для больших чисел. Черта, проведенная над числом, означала умножение на 1000; вертикальные черты с двух сторон — умножение на 100. Например, |LV |означало 5500. Кроме того, была введена запись меньших цифр слева, равносильная вычитанию. Например, ХСзаписывалось вместо LXXXX, а IV— вместо IIII.

* * *

МАРК ВИТРУВИЙ

Знаменитый архитектор и писатель Витрувий (80–15 гг. до н. э.) служил в легионах Юлия Цезаря и подчинялся ему лично. Он оставил потомкам труд «06 архитектуре». В десяти книгах этого труда излагаются различные вопросы этой дисциплины, начиная от механизмов и материалов и заканчивая элементами урбанистики и пейзажистики.

Издание «Об архитектуре» Витрувия 1561 года.

* * *

Выполнять арифметические действия с римскими цифрами было непросто. Вероятно, вычисления производились с помощью абаков или табличек, а римские цифры использовались только для записи исходных значений и результатов. Римские таблички для вычислений напоминали греческие. На табличках были нанесены линии; камешки, расположенные на линиях, соответствовали единицам, а те, что располагались между линиями, — 5 единицам. Таблички делились на две части. В правой части записывалось число, которое требовалось прибавить, в левой части — результат.

На иллюстрации, приведенной ниже, слева записано число 2907, справа — 43. Результат получался перемещением всех камушков в левую часть и последующим сдвигом (5 камней на линии были эквивалентны одному камню между линиями, два камня между линиями — одному камню на линии выше). В нашем примере результат сложения равен 2950.