Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Рассмотрим случай, когда частица движется по прямой с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, а импульс — это произведение массы на скорость, импульс также будет постоянным. Итак, частица будет двигаться вдоль горизонтальной оси х , сохраняя один и тот же импульс. Рисуя ее траекторию, представим себе, что частица движется, оставляя после себя след, как от сверхзвукового самолета (см. рисунок на следующей странице). След — это то, что представлено на графике: области, по которым прошла частица.

Траектория в фазовом пространстве частицы, которая движется прямолинейно на постоянной скорости, имеет следующий вид.

На графике показано, что импульс частицы при любом ее положении один и тот же. Подобным образом движется, например, поезд, который всегда едет на одной и той же скорости.

Более интересен случай, когда частица движется зигзагом, например как игрушка, прикрепленная к пружине и подпрыгивающая вверх-вниз. В этом случае скорость игрушки уменьшается, пока она не доходит до одного края, затем она начинает увеличиваться по мере того, как игрушка доходит до центра движения, и затем снова уменьшается, когда она доходит до противоположного края. Форма такого движения в фазовом пространстве довольно любопытна.

Как можно заметить, траектория имеет форму эллипса, то есть типичную форму колебательного движения, хотя возможны и более сложные случаи. Эта траектория соответствует некоторым начальным положению и скорости, то есть начальным условиям. С каждым набором начальных условий связана разная траектория в фазовом пространстве. На первом графике на стр. 46 показаны возможные траектории для частицы, движущейся зигзагом, в зависимости от ее начального положения.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Существует огромное количество возможных траекторий в фазовом пространстве, и их форма зависит от правил, регулирующих развитие системы. Например, на графике показана траектория в фазовом пространстве частицы, которая колеблется под воздействием силы трения, так что постепенно теряет энергию.

Но возможно и намного менее предсказуемое поведение. Рисунок ниже соответствует аттрактору Лоренца — траектории, возникающей при описании погоды. В целом существует столько возможных траекторий, сколько можно вообразить систем. Некоторые из них упорядочены, но существует и огромное количество систем, в которых траектория частицы непредсказуема. Трехмерная траектория абсолютно непредсказуема и никогда не проходит через одну и ту же точку.

* * *

Различные траектории в фазовом пространстве.

Каждая траектория соответствует различной энергии.

В случае с газами мы хотим изучить не одну траекторию системы, а все возможные траектории; поскольку начальные условия нам неизвестны, следовательно, мы должны предположить, что они находятся в определенном диапазоне. Метод Гамильтона позволяет нам вывести некоторые свойства без необходимости останавливаться на каком-то из них конкретно. Одно из этих свойств, которое приобретет чрезвычайную важность при изучении газов, заключается в том, что траектории в фазовом пространстве никогда не пересекаются: невозможно прийти в одно и то же место, исходя из различных начальных условий, если только оба начальных условия не порождают один и тот же тип движения.

То есть представленное ниже невозможно.

Кажется, что это противоречит здравому смыслу. Неужели действительно два объекта не могут пройти через одну и ту же точку? Не нужно забывать, что мы говорим о фазовом пространстве: в нем занять одну и ту же точку означает иметь одно и то же положение и один и тот же импульс, то есть одну и ту же скорость. Пред ставим себе, что в фазовом пространстве возможно пересечение траекторий, как на предыдущем графике. Это означало бы, что у частицы, которая находится в этой точке, есть выбор из двух возможных вариантов движения. Какой вариант она выберет? Возможно ли, чтобы законы физики приводили к разным результатам? Нет, это невозможно, и, следовательно, траектории не могут пересечься. Ни для одной из них невозможно разветвление.

Теперь у нас есть необходимые инструменты для изучения поведения газов. Мы знаем, что молекулы газа ведут себя в соответствии с принципом наименьшего действия, а также можем применить уравнения Гамильтона к произвольному числу частиц. Теперь нам осталось написать уравнения и начать их решать.

Конечно же, это титаническая работа. В литре газа приблизительно 10 23частиц, или двадцать три нуля после единицы. Поскольку для каждой частицы нужно шесть координат и для каждой координаты мы должны решить уравнение, перед нами — около квадриллиона уравнений. Даже если воспользоваться мощным компьютером, для решения этой задачи потребуются тысячи лет.

И это не единственная проблема. Оказывается, что современные математические инструменты не позволяют решить уравнения Гамильтона даже в сравнительно простом случае — задаче трех тел с взаимным гравитационным притяжением. Это открытие, сделанное Анри Пуанкаре(1854–1912) в конце XIX века, легло в основу такого понятия, как детерминированный хаос . Детерминированный хаос был открыт благодаря физике, но сегодня это отрасль математики, которая используется для изучения любого типа явлений. Как видите, тактическая проблема вычислений в физике вызвала к жизни математические разработки, каждая из которых пошла своим путем.

На первый взгляд в проблеме трех тел нет ничего особенного. Можно взять, например, Солнце, Землю и Луну — три тела с взаимным гравитационным притяжением. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна, в свою очередь, — вокруг Земли. Решение кажется элементарным. Однако наше описание очень сильно упрощено по сравнению с тем, что происходит в действительности. Луна притягивается не только Землей, но и Солнцем; кроме того, сила солнечного притяжения меняется в зависимости от положения тел.

Земля, в свою очередь, испытывает притяжение не только Солнца, но и Луны. Хотя при первом приближении можно считать влияние Луны незначительным, но если мы хотим найти точные траектории движения, этого делать нельзя.