Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

ГРУППЫ ЛЕОНАРДО

Группы Леонардо — это группы движений с конечным числом элементов и точкой, положение которой остается неизменным вне зависимости от применяемого движения. Группы Леонардо содержат только повороты и различные виды отражений (зеркальной симметрии).

Существует два вида групп Леонардо. Первый — циклические группы, состоящие из одного поворота на некоторое число градусов, причем 360° делится на это число без остатка. Примером такой группы является С 3, содержащая поворот gна 120°. Элементами этой группы являются:

С 3 = { Id, g, g 2},

где Id— нейтральный элемент.

Группа С 3с обозначенной фиксированной точкой, которая является центром вращения.

Ко второму типу относятся так называемые диэдрические группы, образованные поворотом и симметрией, ось которой проходит через центр вращения. Такие группы обозначаются D n.

Слева— фигура, инвариантная для D 3. Справа обозначены оси симметрии и повороты.

Например, D 3состоит из поворота gна 120° и симметрии s. Элементами этой группы являются:

D 3= { Id, g, g2, s, s° g, s° g 2}.

Результат применения к исходной фигуре Fдвижений Id, gи g 2.

Результат применения к исходной фигуре Fдвижений s, g° sи g 2° s.

Группа D 1образована единственной симметрией.

* * *

Фриз церкви Санта-Мария-Новелла с 15 розами. Каждая имеет различную форму и вписана в квадрат.

(источник: АМА)

Совокупность архитектурных элементов вписана в квадрат, который, в свою очередь, делится на четыре квадрата осью симметрии и верхней границей фриза. Аттик, возведенный над фризом, вписан в квадрат, в четыре раза меньший большого квадрата. Чтобы дополнить композицию и компенсировать разницу высот центрального и боковых нефов, архитектор использовал две треугольные волюты со скругленными краями, в которые вписаны две окружности. Аттик завершается фронтоном, в который вписана окружность с изображением солнца — герб этого района Флоренции. Диаметр центрального отверстия, если считать вместе с окаймлением, в два раза больше диаметра трех окружностей — верхней, расположенной на фронтоне, и двух боковых. В композиции, как можно увидеть невооруженным глазом, доминируют квадраты. Также можно заметить, что несколько раз используется золотое сечение, правда, с меньшей точностью, а также другие соотношения. Например, ширина и высота центрального портала относятся как 2:3.

Некоторые примеры использования золотого сечения.

(источник: FMC)

Использование подобных соотношений (не только золотого сечения) делает проект модульным, что упрощает его реализацию, а также имеет чисто эстетическую функцию, делая гармоничным сочетание различных частей единого целого.

Квадрат, в который вписана волюта, равен 1/16 большого квадрата. Соотношение сторон дверей церкви равно 2:3.

(источник: FMC)

Результат впечатляет: двухцветное здание становится сбалансированным, ритмичным и гармоничным. Заострим внимание на центральном фризе. В нем выделяются 15 квадратов зеленого мрамора, в каждый из которых вписана роза. Если смотреть на здание невооруженным глазом, розы практически незаметны. Сделав снимок телеобъективом, мы сможем восстановить их и подробнее рассмотреть их форму. Они изготовлены из мрамора трех цветов: зеленого, белого и розового.

Рассмотрим, какие группы соответствуют каждой розе фриза. Для этого пронумеруем розы слева направо.

Первой и второй розе соответствует группа D 5 , образованная поворотом на 72° и симметрией относительно вертикальной оси.

Первая и вторая роза центрального фриза церкви Санта-Мария-Новелла.

Внешней части третьей розы соответствует группа D 16 , центральной части — D 8 , но так как внутренняя часть розы содержит четырехугольник, в сумме этой розе соответствует D 4 . Привлекает внимание тот факт, что ось симметрии повернута относительно вертикали на 11,5° (следовательно, остальные будут повернуты на 56,5°, 101,5° и 146,5°).

Третья роза.

Четвертой розе соответствует D 8 , но так как внутри кольца расположена шестиконечная звезда, то искомой группой будет D 2 .

Четвертая роза.

Пятой розе, равно как шестой и седьмой, вновь соответствует D 4 .

Пятая роза.

Шестая роза.

Седьмая роза.

Восьмой розе, занимающей центральное положение, очевидно соответствует D 6 , на что указывает центральная шестиконечная звезда.

Восьмая роза.

Девятой розе вновь соответствует D 4 .

Девятая роза.