Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Решение проблемы

Пока что нам не удалось найти музыкальный строй, не содержащий «ненастроенных» интервалов. Неизбежно возникает вопрос: можно ли создать такой строй, в котором все соотношения между нотами оставались бы неизменными вне зависимости от выбора тонального центра? Эту проблему нельзя решить посредством уравнивания интервалов, изменяя частоту нот так, чтобы увеличить или уменьшить определенные интервалы. Решение задачи заключается в том, что октава изначально должна делиться на 12 равных интервалов. Эти 12 интервалов должны разбиваться на 12 равных полутонов, которые в сумме составляют одну октаву.

Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, еще в XVI веке предложил разделить октаву на 12 равных полутонов. Соотношение частот этих полутонов равнялось 18/17. Упорядочиванием 12 таких интервалов получались малые октавы и квинты, соотношение частот для которых равнялось 1,9855… и 1,4919… соответственно.

Подойдем к решению этой задачи с чисто математической точки зрения. Обозначим за х отношение частот звуков для последовательных полутонов такое, что 12 интервалов по х образуют октаву. На языке алгебры это означает, что должно выполняться равенство

Значение х , равное 1,059463094…, позволяет по определению получить идеальную октаву. Пифагорейская комма равномерно распределяется по всему строю.

Как вы уже увидели, во всех разновидностях музыкального строя, которые использовались в разное время, положение пифагорейской коммы определялось в зависимости от того, какой интервал считался самым важным. Самые важные интервалы сохранялись чистыми, остальные искажались. В строе с соотношением частот 1,059463094…, который называется равномерно темперированным строем, все интервалы «ненастроены» равномерно.

Чтобы определить частоту звуков для каждого интервала, необходимо составить цепочку из необходимого числа полутонов. Рассмотрим в качестве примера квинту. Она состоит из семи полутонов. Следовательно, отношение частот звуков, определяющих границы квинты, будет равно

х 7= (1,059463094…) 7= 1,498307071…

С помощью этого простого правила формируется строй из 12 нот. Соотношение частот для всех интервалов приведено в следующей таблице:

Равномерно темперированный строй стал использоваться во всем мире, особенно для инструментов с фиксированным строем. Звуки этого строя приятны на слух. Хотя некоторые интервалы получаются излишне большими, а другие, напротив, слишком малыми, равномерно темперированный строй имеет два важных преимущества. Во-первых, что ценно с практической точки зрения, его можно использовать для уже существующих инструментов. Во-вторых, что ценно с музыкальной точки зрения, благодаря тому, что все интервалы равны между собой, «окраска» остается неизменной вне зависимости от выбора тонального центра. (Стоит отметить, что некоторые считают это не преимуществом, а недостатком, ведущим к утере разнообразия.)

Важно учитывать, что все вышеизложенное справедливо для инструментов с фиксированным строем, например для пианино: его звучание не меняется по ходу исполнения музыкального произведения. Однако инструменты с нефиксированным строем, а также человеческий голос могут быть настроены согласно диатоническому или равномерно темперированному строю.

Центы

Цент — это логарифмическая единица, используемая для точного измерения интервалов, отношение частот для которых крайне мало. Цент получается делением полутона на 100 равных (перемножающихся!) микроинтервалов. Интервал в 1 цент слишком мал, чтобы его можно было различить на слух.

Подобно тому как 12 полутонов образуют октаву, цент — это число с такое, что

С помощью центов можно по-новому сравнивать интервалы различных темпераций. Так как цент — это логарифмическая единица, то в цепочке центов частоты складываются, а не перемножаются, как в предыдущих случаях. Следовательно, использование центов значительно упрощает вычисления. Интервал р выражается в центах следующим образом:

с( р ) = 1200· log 2 p .

Благодаря этой формуле можно пересчитать все интервалы и представить их в виде центов, что упрощает сравнение различных музыкальных строев:

* * *

ГАРМОНИЧНЫЕ КОЛОКОЛЬЧИКИ

Ветряные колокольчики состоят из небольших трубок разной длины, обычно металлических, которые крепятся к круглому основанию. Под дуновением ветра трубки ударяются о кольцо, закрепленное в центре. Как правило, трубки подбираются так, чтобы их звучание соответствовало пентатоническому звукоряду. Они также могут быть подобраны индивидуально, в соответствии с любым другим звукорядом. Должна соблюдаться относительная длина трубок, кроме того, отверстие в каждой трубке должно находиться в строго определенном месте. За основу берется трубка длины L, звук которой принимается в качестве основы звукоряда. Через L i рассчитываются длины остальных трубок в соответствии с формулой

Колокольчики различной формы, изготовленные из металлических трубок.

R i — соотношение частоты данного звука и базового. В свою очередь, подвес должен располагаться на высоте, равной 22,4 % от общей длины трубки. В следующей таблице приведены некоторые значения длин трубок для колокольчиков из семи трубок:

Также можно вычислить длины трубок для более низких звуков, например для нисходящей кварты. В этом случае значение R iбудет обратным значению для восходящей кварты:

* * *

Квинты равномерно темперированного строя несколько меньше чистых квинт. Терции равномерно темперированного строя, в свою очередь, больше чистых терций, но меньше пифагорейских.

Соизмеримость

Пифагорейцам не были известны дроби в том виде, в котором мы их используем сейчас. Вместо этого применялось эквивалентное понятие отношения между целыми числами. Как вы уже увидели, с помощью таких отношений пифагорейцы описали соотношения длин струн, способных производить гармоничные звуки: 2:1, 3:2, 4:3, …