Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Тут можно читать онлайн Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - бесплатно полную версию книги (целиком) без сокращений. Жанр: Математика, издательство «Де Агостини», год 2014. Здесь Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте лучшей интернет библиотеки ЛибКинг или прочесть краткое содержание (суть), предисловие и аннотацию. Так же сможете купить и скачать торрент в электронном формате fb2, найти и слушать аудиокнигу на русском языке или узнать сколько частей в серии и всего страниц в публикации. Читателям доступно смотреть обложку, картинки, описание и отзывы (комментарии) о произведении.
  • Название:
    Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика
  • Автор:
  • Жанр:
  • Издательство:
    «Де Агостини»
  • Год:
    2014
  • Город:
    Москва
  • ISBN:
    978-5-9774-0722-9
  • Рейтинг:
    4.38/5. Голосов: 81
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 80
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика краткое содержание

Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - описание и краткое содержание, автор Антонио Дуран, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки LibKing.Ru

Поэзия — недоказуемая истина. Математика же, напротив, состоит из доказательств. И все-таки у этих двух сфер есть что-то общее. Ученый Анри Пуанкаре писал: «Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова». Математик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Цель этой книги — на нескольких ярких примерах показать красоту математики.

Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - читать онлайн бесплатно полную версию (весь текст целиком)

Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - читать книгу онлайн бесплатно, автор Антонио Дуран
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?

Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

И средневековые схоластики в частности Фома Аквинскийок 12241274 и - фото 104

И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский(ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт(1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.

Кантор и анархистская природа математики

Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор(1845–1918) . Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.

Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.

Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его части, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько и дробных.

Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элементы которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что натуральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в высшей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необходимый контекст.

Канторв 1894 году в возрасте 49 лет когда он пытался систематизировать теорию - фото 105

Канторв 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.

Доказательство Кантора

Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а 1, a 2, а 3 , …, где каждая цифра 0, а 1, a 2, а 3 , … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).

В доказательстве Кантора используется так называемый диагональный метод, который для любой пары, состоящей из одного из чисел 1, 2, 3, 4… и двоичной последовательности, позволяет найти такую двоичную последовательность, которая не будет парой ни для одного числа. Представьте, что дана произвольная пара, образованная числом и двоичной последовательностью. Для простоты рассмотрим следующие несколько пар.

Обратите внимание на цифры обведенные квадратной рамкой первую цифру первой - фото 106

Обратите внимание на цифры, обведенные квадратной рамкой: первую цифру первой последовательности, вторую цифру второй последовательности и так далее. Построим новую последовательность (она приведена в конце списка и отделена многоточием), изменив эти цифры: заменим единицы нулями, а нули — единицами. Таким образом, первой цифрой новой последовательности будет 0, второй — 0, третьей — 1, четвертой — 0 и так далее. Так мы гарантируем, что вне зависимости от последующих цифр новая последовательность будет отличаться от всех предыдущих: она будет отличаться от первой последовательности первым знаком, от второй — вторым, от третьей — третьим и так далее. Это должно убедить читателя, что в представленном выше списке для созданной нами двоичной последовательности не найдется пары. Если немного подумать, то станет понятно, что метод Кантора не зависит от представленного выше списка. Если список изменить, мы сможем применить этот метод к новому списку и сформировать новую последовательность, для которой не найдется пары.

* * *

ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД КАНТОРА

Этот же диагональный метод наряду с понятием подмножества позволил Кантору показать, как можно построить бесконечные множества сколь угодно большого размера. Представьте множество А = {1,2,3}, образованное тремя числами 1, 2, 3. Множество подмножеств Аполучается, если рассмотреть все множества, которые мы можем составить из элементов А, в том числе пустое множество 0. Обозначив множество подмножеств Ачерез Р( А), имеем:

Кантор доказал что если множество Абесконечное то бесконечность - фото 107

Кантор доказал, что если множество Абесконечное, то бесконечность, соответствующая множеству подмножеств А, будет всегда больше, чем бесконечность, соответствующая исходному множеству. В своем доказательстве Кантор вновь применил диагональный метод, адаптировав его к этой задаче. Рассмотрим пары, образованные элементами множества Аи множества его подмножеств Р( А). Каждый элемент хмножества Абудет иметь пару — множество X, составленное из элементов А. Теперь определим подмножество А, которое не будет иметь пары: это множество Y, содержащее те элементы х множества А, которые не принадлежат соответствующему множеству X.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать


Антонио Дуран читать все книги автора по порядку

Антонио Дуран - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки LibKing.




Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика отзывы


Отзывы читателей о книге Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика, автор: Антонио Дуран. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Понравилась книга? Поделитесь впечатлениями - оставьте Ваш отзыв или расскажите друзьям

Напишите свой комментарий
x