Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— Ты говоришь, что в случае с Ахиллесом и черепахой мы только воображаем разложение процесса на бесконечное количество этапов и что действительное движение происходит непрерывно, без всяких этих этапов. Тогда зачем же такие разложения рассматривать?

— Видишь ли, — ответил Радикс, — на этот вопрос я тебе сейчас коротко ответить не могу. Дальше мы познакомимся с очень важными задачами, в решении которых бесконечные процессы играют основную роль. Тебе дана некоторая конечная величина; ты начинаешь как бы «исчерпывать» ее, и при этом столь ничтожными частицами, что в пределе действительно приходишь к полному ее «исчерпанию». Такое «исчерпание» конечной величины как раз и является одним из самых сильных средств математики, владея которым она и справляется с вопросами, относящимися к непрерывно изменяющимся переменным. Сейчас я могу только привести еще один, уже немного знакомый тебе пример, в котором оказывается полезным способ представления конечной величины в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю.

— 221 —

— Как это может быть? — спросил Илюша. — Если каждое слагаемое стремится к нулю, то, по-моему, и их сумма…

— Ты забываешь, что их число неограниченно возрастает.

Начнем с простейшего случая. Представь себе, что единицу ты разделишь сначала на две части, возьмешь сумму этих двух дробей и получишь опять единицу. Но совершенно такой же результат получится, если разделить единицу на три части и сложить полученные три дроби, и так далее. Если ты произведешь деление на n равных частей, то каждая из них выразится дробью 1/ n , а при неограниченном возрастании n будет бесконечно малой. Но если при каждом значении и составлять сумму и таких дробей, то все время будет получаться единица.

— Единица и есть единица. К чему же разбивать ее на части и потом опять собирать ее в целое из этих частей? — спросил Илюша.

— Представь себе, что часто, и притом в очень важных вопросах, именно этот способ и оказывается чрезвычайно мощным средством, но только, конечно, он применяется не в слишком уж простом виде. Вот послушай, я приведу тебе пример немного посложнее. Ты, конечно, помнишь, что отношение длины окружности к ее диаметру равно числу π . Так что длина круга с радиусом r будет выражаться числом 2 πr . Представь себе, что формула для нахождения площади круга тебе неизвестна. Разбей весь круг на большое число — назовем его опять n — маленьких секторов, разделив окружность на n равных маленьких дужек и соединив точки деления с центром.

Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере. Однако смысл

— 222 —

всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание — длину дужки — на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2 πr , на половину радиуса, и получится выражение для площади круга — πr 2. Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l , то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, — промолвил в заключение Радикс, — можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке…

— В порядке! Ха-ха-ха! — раздалось откуда-то из-под облаков страшное громыхание плюшевого Мишки-великана.

— Хм!.. — грустно заметил Радикс. — Он, кажется, еще сомневается, все ли ты уразумел?

— Н-не знаю… — неуверенно признался Илюша.

— А не попробовать ли нам сначала? — крикнул Мишка.

— Давай попробуем! — робко сказал Илюша.

И снова вдруг сбежались знакомые человечки, составили формулу, опять Мишка стал маленьким и мирно сидел на тулье цилиндра, но справа появилось много человечков-малюток:

— 223 —

S = a 1( q n — 1) / ( q — 1) — a 1/ ( q — 1) = a 1+ a 2+ a 3+ … a n

— Ну? — вопросительно заявил Мишка.

Мгновенно человечки справа исчезли все, кроме первого, у которого на груди появилась цифра «1». Немедленно в лапке Мишки тоже оказалась единица, а на груди у тощей Суммы появилась та же самая единица.

— Вперед, друзья! — энергично скомандовал Мишка.

Сейчас же вслед за первым человечком появился второй, у которого на груди было число «½», в лапке Мишки оказалась уже двойка, а на груди у Суммы появилось не «1», а «1½». Затем появился третий человечек, имя которого было «¼», и Мишка показал своей лапкой, что это номер третий, а Сумма сложила все три члена, и вышло 1¾. Появился еще новый член прогрессии, его звали «1/8». Мишка засвидетельствовал, что это был четвертый номер, а Сумма заявила, что теперь всего выходит 1 7/ 8. Все было правильно, как заметил Илюша. Затем человечки стали появляться все дальше и дальше, быстро и равномерно выпрыгивая на сцену и мелькая один за другим. Казалось, будто прямо перед тобой проходит лента кинокартины и все понемножку меняется, точно толчками. А вместе с тем все быстрее мелькали номера у Мишки в лапке и менялось число на груди у Суммы. Но самое интересное заключалось в том, что человечки, что ни дальше, стали появляться все скорей и скорей, и наконец глаз почти перестал замечать эти толчкообразные изменения картины, а просто казалось, что длинная-предлинная вереница членов прогрессии все удлиняется и удлиняется. А дальше уже стало казаться, что просто куда-то очень-очень далеко вправо растет длинненькая тоненькая ниточка, и уж нельзя было разобрать, что она состоит из человечков, которых делается все больше и больше… Наконец Мишка взмахнул лапкой и сказал: «Всё!»