Людвиг Витгенштейн - Логико-философский трактат

5.2341. Смысл функции истинности p есть функция смысла p .

Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. п. являются действиями.

(Отрицание меняет смысл суждения на противоположный.)

5.24. Действие проявляет себя в переменной; оно показывает, как можно получить одну пропозициональную форму из другой.

Оно выражает различие между формами.

(То, что основания действия и его результаты имеют общего, есть лишь сами основания.)

5.241. Действие – не характеристика формы, а только различие между формами.

5.242. Действие, создающее «q» из «p», также создает «r» из «q», и так далее. Есть лишь один способ выразить это: «p», «q», «r» и пр. должны быть переменными, позволяющими выразить некие общие формальные отношения.

5.25. Наличие действия не характеризует смысл суждения.

Ведь действие ничего не сообщает; говорит лишь результат, который зависит от оснований действия.

(Не следует смешивать действия и функции.)

5.251. Функция не может быть собственным аргументом, тогда как действие может иметь один из своих результатов в качестве основания.

5.252.Только таким способом возможен переход от одного члена последовательности к другому (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда 9).

(Рассел и Уайтхед не признавали возможности подобного перехода, но постоянно им пользовались.)

5.2521. Если действие повторно прилагается к его результату, я говорю о последовательном применении действия. («O’O’O’a» есть результат трехкратного последовательного действия «O’ξ» над «a».)

В том же смысле я говорю о последовательном применении более чем одного действия к определенному числу суждений.

5.2522. Согласно с этим я использую знак «(a, x, O’x)» как общий для последовательности форм: a, O’a, O’O’a… Выражение в скобках является переменной: первый его член есть начало последовательности, второй – форма любого члена ряда, а третий – форма члена ряда, следующего за x.

5.2523. Понятие последовательного применения действия равнозначно понятию «и т. д.».

5.253. Одно действие может опровергать результат другого. Действия могут опровергать друг друга.

5.254. Действие способно аннулировать себя (ср. отрицание в «~~p»: ~~p = p).

5.3. Все суждения суть результаты истинностных действий над элементарными суждениями.

Истинностное действие представляет собой способ, каким функция истинности порождается из элементарного суждения.

Для истинностных действий существенно, что сходно с тем, как элементарные суждения создают функции истинности, сами функции истинности порождают новые подобные функции. Когда истинностное действие применяется к функции истинности элементарного суждения, это всегда создает новую функцию истинности элементарного суждения, новое суждение. Когда истинностное действие применяется к результату функции истинности элементарного суждения, всегда имеется единичное действие над элементарными суждениями, приводящее к тому же результату.

Всякое суждение есть результат истинностных действий над элементарными суждениями.

5.31. Схема в пункте 4.31 будет иметь смысл даже в том случае, когда «p», «q», «r» и т. д. не являются элементарными суждениями.

Легко увидеть, что пропозициональный знак в пункте 4.442 выражает единичную функцию истинности элементарных суждений, даже когда «p» и «q» являются функциями истинности элементарных суждений.

5.32. Все функции истинности суть результаты последовательного применения к элементарным суждениям конечного числа истинностных действий.

5.4. Тут становится очевидным, что не существует «логических объектов» или «логических констант» (в том смысле, в каком использовали эти выражения Фреге и Рассел).

5.41. Причина в том, что результаты истинностных действий над функциями истинности всегда тождественны, если они являются одной и той же функцией истинности элементарных суждений.

5.42. Совершенно очевидно, что ∨, ⊃ и т. д. не являются отношениями в том смысле, в каком являются ими правое, левое и т. п.

Взаимоопределяемости «элементарных логических знаков» Фреге и Рассела достаточно, чтобы показать, что они вовсе не элементарны и не выступают знаками отношений.

И очевидно, что «⊃», определяемое посредством «~» и «∨», тождественно тому, которое в сочетании с «~» определяет «∨»; и что второе «∨» тождественно первому; и т. д.

5.43. На первый взгляд кажется маловероятным, что из факта p должно следовать бесконечное множество других, а именно ~~ p , ~~~~ p и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное число суждений логики (математики) следует из полудюжины «основных законов».

Но на самом деле все суждения логики говорят одно и то же – собственно, ничего.

5.44. Функции истинности нематериальны.

К примеру, утверждение может возникнуть из двойного отрицания: в таком случае можно ли заключить, что в известном отношении отрицание содержится в утверждении? Разве «~~p» отрицает ~ p , разве оно подтверждает p или делает и то и другое?

Суждение «~~p» не трактует отрицание как объект; с другой стороны, возможность отрицания всегда присутствует в утверждении.

И если есть объект «~», отсюда следует, что «~~p» сообщает нечто отличное от «p», поскольку одно суждение будет об ~, а другое – нет.

5.441. Это исчезновение очевидных логических констант также проявляется в случае «~ (Ǝx) × ~fx», где говорится то же, что в выражении «(x) × fx», и в случае «(Ǝx) × fx × x = a», тождественном «fa».

5.442. Если дано суждение, тогда даны и результаты всех истинностных действий, опирающихся на это суждение.

5.45. Если бы существовали элементарные логические знаки, тогда любую логику, не способную показать отчетливо, как они расположены относительно друг друга, и оправдать их существование, следовало бы признать некорректной. Порождение логики из ее элементарных знаков должно быть очевидным.

5.451. Если в логике имеются элементарные идеи, они должны быть независимы друг от друга. Если элементарная идея вводится, она должна вводиться во все комбинации, в которых может встречаться. Поэтому она не может вводиться сначала в одну комбинацию, а затем в другую.

Например, после внедрения отрицания мы должны понимать его в суждениях «~p» и в суждениях «~ (p ∨ q)», «(Ǝx) × ~fx» и т. д. Мы не можем ввести его сначала в один разряд выражений, а затем в другой, поскольку иначе возникнут сомнения в том, одинаково ли его значение для обоих классов, и не будет никакой причины комбинировать знаки сходным образом в обоих классах.

(Коротко говоря, замечания Фреге относительно внедрения знаков посредством описания (в «Основных законах арифметики») применимо, mutatis mutandis [3] С учетом имеющихся различий ( лат .). , к внедрению элементарных знаков.)