Людвиг Витгенштейн - Логико-философский трактат

5.512. «~p» истинно, если «p» ложно. Поэтому в суждении «~p», когда оно истинно, «p» будет ложным суждением.

Но как тогда значок «~» соотносится с реальностью? Ведь в «~p» отрицает не «~», а то общее, что присуще всем знакам этой записи, отрицающим p . Можно сказать, что есть общее правило, конструирующее «~p», «~~~p», «~p ∨ ~p», «~p × ~p» и так далее, до бесконечности. И это общее свойство отражает отрицание.

5.513. Мы можем сказать, что общим для всех символов, утверждающим вместе p и q , будет суждение «p × q»; а общим для всех символов, утверждающих p или q , будет суждение «p ∨ q».

И сходным образом мы можем сказать, что два суждения противоположны, если они не имеют ничего общего друг с другом, и что всякое суждение содержит лишь одно отрицание, поскольку для него имеется только одно суждение, находящееся полностью вовне. В записи Рассела тоже ясно, что «q : p ∨ ~p» равнозначно «q», а «p ∨ ~p» не говорит ничего.

5.514. Когда запись принята, в ней начинает действовать правило конструирования всех суждений, которые отрицают p, правило конструирования всех суждений, которые утверждают p , и правило конструирование всех суждений, которые утверждают p или q , и т. д. Эти правила равнозначны символам, и в них отражаются значения последних.

5.515. Следует показать в наших символах, что они могут быть лишь суждениями, которые комбинируются при помощи значка «∨» и ему подобных.

Дело обстоит именно так, поскольку символ в «p» и «q» предполагает «∨», «~» и т. п. Если знак «p» в «p ∨ q» не является сложным знаком, тогда он не может иметь значения, а в этом случае знаки «p ∨ p», «p × p» и т. д., имеющее то же значение, что «p», также лишаются смысла. Но если «p ∨ p» не имеет смысла, то и «p ∨ q» его не имеет.

5.5151. Должен ли знак отрицательного суждения строиться с помощью знака положительного суждения? Разве невозможно выразить отрицательное суждение посредством отрицательного факта? (Допустим, что «a» не находится в определенном отношении к «b»; из этого следует, что aRb не имеет места.)

Но на самом деле даже в этом случае отрицательные суждения создаются непрямым использованием положительных.

Положительное суждение необходимо предполагает существование отрицательного, и наоборот.

5.52. Если значениями ξ являются все значения функции fx для всех значений x , то N(ξ) = ~ (Ǝx) × fx

5.521. Я отделяю понятие «все» от функций истинности.

Фреге и Рассел ввели общность в сочетании с логическим произведением или логической суммой. Это затруднило понимание суждений вида «(Ǝx) × fx» и «(x) × fx», в которых присутствуют оба действия.

5.522. Особенностью знака общности является прежде всего то, что он указывает на логический прототип, а во-вторых, выделяет константы.

5.523. Знак общности выступает аргументом.

5.524. Если объекты заданы, тогда одновременно заданы все объекты. Если заданы элементарные суждения, тогда одновременно заданы все элементарные суждения.

5.525. Некорректно переводить суждение «(Ǝx) × fx» фразой « fx возможна», как поступил Рассел.

Достоверность, возможность и невозможность ситуации выражаются не суждением, но выражением, которое является тавтологией, осмысленным суждением или противоречием.

Прецедент, к которому мы постоянно обращаемся, должен содержаться в самом символе.

5.526. Мы можем полностью описать мир посредством обобщенных суждений, без предварительного соотнесения имен с конкретными объектами.

Для последующего перехода к обычному способу выражения нужно к выражению «имеется один и только один х , который…» просто прибавить: «и этот х есть а ».

5.5261. Обобщенное суждение, подобно любому другому суждению, является составным. (Это доказывается тем фактом, что в «(Ǝx, φ) × φx» нам приходится вводить «φ» и «x» раздельно. Оба индекса, независимо друг от друга, состоят в означающем отношении с миром, как и в случае необобщенных суждений.)

Это черта сложного символа, общая для него и для других символов.

5.5262. Истинность или ложность суждения оказывает влияние на общую конструкцию мира. А пространство, которое совокупность элементарных суждений предоставляет для его конструирования, соответствует тому, которое ограничено обобщенными суждениями.

(Если элементарное суждение истинно, это означает, что существует по крайней мере еще одно истинное элементарное суждение.)

5.53. Тождественность объектов я выражаю тождественностью знаков, а не использованием знака тождественности. Различие объектов я выражаю различием знаков.

5.5301. Очевидно, что тождественность не является отношением между объектами. Это становится ясно, если рассмотреть, к примеру, суждение «(x): fx. ⊃. x = a». Это суждение говорит о том, что лишь a удовлетворяет функции f , а не о том, что только предметы, имеющие какое-либо отношение к a , удовлетворяют этой функции.

Конечно, можно сказать, что только a имеет отношение к a ; но чтобы выразить это, нам потребуется знак тождества.

5.5302. Расселовское определение «=» неудовлетворительно, поскольку согласно ему мы не можем сказать, что два объекта обладают полностью одинаковыми свойствами. (Даже если это суждение не является верным ни при каких условиях, оно все равно не лишено смысла.)

5.5303. Грубо говоря, сказать о двух предметах, что они тождественны, – бессмыслица; а сказать об одном предмете, что он тождественен себе, значит не сказать ничего.

5.531. Поэтому я записываю не «f (a, b) × a = b», но «f (a, a)» (или «f (b, b)»); и не «f (a, b) × ~a = b», но «f (a, b)».

5.532. Аналогично я записываю не «(Ǝx, y) × f (x, y) × x = y», но «(Ǝx) × f (x, x)»; и не «(Ǝx, y) × f (x, y) × ~x = y», но «(Ǝx, y) × f (x, y)».

(То есть вместо, как у Рассела, «(Ǝx, y) × f (x, y)» получаем «(Ǝx, y) × f (x, y) × ∨ × (Ǝx) × f (x, x)».)

5.5321. Потому, к примеру, вместо «(x): fx ⊃ x = a» мы пишем «(Ǝx) × fx × ⊃ × fa: ~ (Ǝx, y) × fx × fy».

А суждение «Только один x удовлетворяет f ()» будет записано как «(Ǝx) × fx: ~ (Ǝx, y) × fx × fy».

5.533. Знак равенства поэтому не является существенным элементом понятийной записи.

5.534. Теперь мы видим, что в корректной понятийной записи псевдосуждения вида «a = a», «a = b × b = c × ⊃ a = c», «(x) × x = x», «(Ǝx) × x = a» и т. д. не могут быть записаны вообще.

5.535. Это также устраняет трудности, связанные с подобными псевдосуждениями.

С помощью такого подхода можно разрешить все трудности, порожденные расселовской «аксиомой бесконечности».

То, что пытается сказать эта аксиома, будет выражено в языке посредством существования бесконечного количества имен с различными значениями.

5.5351. В некоторых случаях возникает искушение использовать выражения вида «a = a» или «p ⊃ p» и им подобные. На самом деле это происходит, когда затрагиваются прототипы, то есть суждения, предметы и т. д. В «Принципах математики» Рассела выражению « p есть суждение» – что бессмысленно – соответствует символическая запись «p ⊃ p», предпосланная в качестве гипотезы некоторым суждениям, чтобы заполнить их аргументные места только суждениями.