Георг Гегель - Наука логики. Том I. Объективная логика

Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее сказать, не рассматривает их, а оперирует с ними. Ибо число есть безразличная, косная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне . Способы этого соотнесения суть виды арифметических действий . Они излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется руководящая нить их последовательности. Но из самого определения понятия числа легко получается тот систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках. На эти руководящие определения мы должны здесь вкратце обратить внимание читателя.

Число есть вообще вследствие своего принципа, одного, некое внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Так как оно, таким образом, есть лишь некое порожденное извне, то всякое исчисление есть продуцирование чисел, считание или, говоря более определенно, сосчитывание . Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться единственно только в различии по отношению друг к другу тех чисел, которые должны быть сосчитываемы; такое различие само должно быть заимствовано из чего-то иного и из внешнего определения.

Качественным различием, составляющим определенность числа, является то, с которым мы познакомились, а именно, различие единицы и численности ; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство , которые суть рефлективные моменты и должны быть рассматриваемы среди определений сущности там, где трактуется о различии.

Далее, нужно предпослать еще то замечание, что числа могут в общем быть произведены двояким образом, либо через присовокупление (Zusammenfassen), либо через разъединение уже присовокупленных; поскольку этот двоякий способ произведения чисел имеет место при одинаковым образом определенном виде считания, то совокуплению чисел (это можно назвать положительным видом исчисления) соответствует некоторое определенное разъединение их (это можно назвать отрицательным видом исчисления), причем само определение вида исчисления независимо от этой противоположности.

После этих замечаний переходим к указанию видов исчисления.

1. Первым порождением числа является совокупление многих как таковых, т. е. многих, каждое из которых положено лишь как одно , — нумерация . Так как одни внешни друг другу, то они представляются под каким-нибудь чувственным образом и операция, посредством которой порождается число, есть сосчитывание по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано . Остановка в счете, будет ли совокуплено столько-то одних или иное их количество, есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешня. — Различие численности и единицы, появляющееся в дальнейшем развитии видов исчисления, служит основой системы чисел — двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.

Возникшие посредством нумерации числа снова подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны ; это — сложение . — Что 7 и 5 составляют 12, это узнают таким образом, что к 7 принумеровывают на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 одних, результат каковой операции сохраняют затем в памяти, помнят наизусть , ибо здесь нет ничего внутреннего. И точно так же узнают посредством сосчитывания на пальцах и т. д., что 7 × 5 = 35; знают это тем путем, что к одной семерке принумеровывается еще одна семерка, повторяют это пять раз, и полученный результат также запоминается наизусть. С трудом этого нумерирования, нахождения сумм, произведений навсегда покончено готовой таблицей сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.

Кант рассматривает (во Введении к «Критике чистого разума», раздел V) предложение: 7 + 5 = 12 как синтетическое предложение. «Можно было бы, — говорит он, — сначала, правда, подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, вытекающее, согласно закону противоречия, из понятия суммы пяти и семи». Понятие суммы ничего более не означает, кроме того абстрактного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятию образом, т. е. означает, что начиная с 7 следует продолжать нумерацию до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными одни, численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. «Однако, — продолжает Кант, — при ближайшем рассмотрении мы находим, что понятие суммы 7 и 5 ничего более не содержит в себе, кроме соединения этих двух чисел в одно единственное, чем вовсе еще не мыслится , каково это единственное число, соединяющее в себе те два числа». «Сколько бы я ни расчленял свое понятие о таковой возможной сумме, я все-таки не встречу в нем двенадцати». С мышлением суммы, с расчленением понятия, переход от указанной задачи к получающемуся результату в самом деле не имеет ничего общего. «Нужно выйти за пределы этих понятий , прибегнуть к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и, таким образом, присоединить эти единицы данных в созерцании пяти к понятию семи», — прибавляет он. Пять в самом деле дано в созерцании, т. е. есть совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, одного; но 7 есть столь же мало понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чуждое понятию соединение этих двух чисел; это столь чуждое понятию нумерирование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием ровно с таким же правом, как и нумерацию, начинающую с одного, — синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет ничего такого и в нее не привходит ничего такого, что не наличествовало бы перед нами совершенно внешним образом. Требование сложить 7 с 5 относится к требованию считать вообще как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.