Георг Гегель - Наука логики. Том I. Объективная логика

Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того, напоминает, что последние отношения суть не отношения последних величин , а только пределы, к которым отношения безгранично убывающих величин приближаются больше, чем всякая данная , т. е. конечная разность, но которых они не преступают, чтобы стать ничем. — Под последними величинами можно было бы именно понимать, как мы уже сказали, неделимые или одни. Но из определения последнего отношения устранено представление как о безразличном безотносительном одном, так и о конечном определенном количестве. — Но не нужно было бы ни безграничного убывания , которое Ньютон приписывает определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного прогресса, ни определения делимости, которое здесь уже больше не имеет никакого непосредственного значения, если бы требуемое определение было развито далее в понятие некоторого такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент отношения.

Касательно сохранения отношения в исчезающих определенных количествах мы встречаем у других авторов (например, у Карно , Réflexions sur la métaphysique du Calcul infinitésimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины прежде, чем исчезнуть, продолжают сохранять то отношение, из которого они происходят. — Это представление выражает собою истинную природу дела, поскольку здесь разумеется не та непрерывность определенного количества, которую оно являет нам в бесконечном прогрессе, непрерывность, заключающаяся в том, что определенное количество так продолжается в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает лишь некоторое конечное определенное количество, некоторый новый член ряда . Однако непрерывное движение вперед всегда представляют себе так, что проходятся значения, которые еще суть конечные определенные количества. Напротив, в том переходе, который совершается в истинное бесконечное, непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что переход исключительно только и состоит в том, что он выделяет отношение в чистом виде и заставляет исчезнуть безотносительное определение, т. е. то обстоятельство, что определенное количество, являющееся членом отношения, еще есть определенное количество также и тогда, когда оно положено вне этого соотношения. — Это очищение количественного отношения есть постольку не что иное, как то, что имеет место, когда некоторое эмпирическое существование (Dasein) постигается через понятие (begriffen wird). Эмпирическое существование благодаря этому поднимается выше самого себя таким образом, что его понятие содержит те же определения, которые содержит оно само, но охваченные в их существенности и вдвинутые в единство понятия, в котором они потеряли свое безразличное, чуждое понятию существование (Bestehen).

Столь же интересна и другая форма ньютоновой трактовки интересующих нас величин, а именно, рассмотрение их как производящих величин или начал . Производная величина (genita) — это произведение или частное, корни, прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, — вообще, конечная величина . — «Рассматривая ее как переменную, как возрастающую или убывающую в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее моментальные приращения или убывания . Но не следует принимать эти моменты за частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы суть не самые моменты , а величины, произведенные из моментов; под последними же следует понимать находящиеся в становлении принципы или начала конечных величин». — Ньютон отличает здесь определенное количество от него же самого, рассматривает его двояко: так, как оно есть продукт или налично сущее, и так, как оно есть в своем становлении , в своем начале и принципе , то есть как оно есть в своем понятии или — здесь это равнозначно — в своем качественном определении; в последнем количественные различия, бесконечные приращения или убывания суть лишь моменты; только уже ставшее есть нечто перешедшее в безразличие наличного бытия и во внешность, — определенное количество. — Но если философия истинного понятия и должна признать эти приведенные касательно приращений или убываний определения бесконечного, то мы должны вместе с тем сразу же заметить, что самые формы приращения и т. д. имеют место внутри категории непосредственного определенного количества и вышеуказанного непрерывного движения вперед, и что представления о приращении , приросте , увеличении x на dx или i и т. д. должны рассматриваться скорее как имеющиеся в этих методах основные недостатки, как постоянное препятствие к выделению в чистом виде определения качественного момента количества из представления об обычном определенном количестве.

По сравнению с указанными определениями является очень отсталым предоставление о бесконечно-малых величинах , содержащееся также и в самих представлениях о приращении или убывании. Согласно представлению о бесконечно-малых величинах они носят такой характер, что следует пренебрегать не только ими самими по отношению к конечным величинам, но также их высшими порядками по отношению к низшим, а равно произведениями нескольких таких величин по отношению к одной. — У Лейбница особенно ярко выступает это требование о таком пренебрежении , применению какового давали место также и предыдущие изобретатели методов, касающихся этих величин. Именно это обстоятельство сообщает указанному исчислению при всем выигрыше в удобстве видимость неточности и явной неправильности хода его действий. — Вольф стремился сделать это пренебрежение величинами понятными по обычному своему способу делать популярными излагаемые им вопросы, т. е. путем нарушения чистоты понятия и подстановки на его место неправильных чувственных представлений. А именно, он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших порядков относительно низших с образом действия геометра, измерение которым высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер снесет песчинку с ее вершины, или с пренебрежением высотой домов и башен при вычислении лунных затмений (Element. Mathes. univ., Tom I, El. Analys. math., P. II, С I, см. Schol.).

Если снисходительная справедливость (die Billigkeit) здравого человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собою напрашивается мысль, что в математической науке не идет речь о такой эмпирической точности и что математическое измерение путем ли вычислений или путем геометрических построений и доказательств совершенно отлично от землемерия, от измерения данных в опыте линий, фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики, сравнивая между собою результаты, получаемые строго геометрическим путем, с результатами, получаемыми посредством метода бесконечно малых разностей, доказывают, что они тождественны и что большая или меньшая точность здесь вовсе не имеет места. А ведь само собою понятно, что абсолютно точный результат не мог бы получиться из неточного хода действия. Однако, с другой стороны, несмотря на протесты против этого способа оправдания, никак нельзя обойтись без самого этого приема — без пренебрежения величиной на основании ее незначительности. И в этом состоит трудность, заставляющая аналитиков стараться сделать понятным и устранить заключающуюся здесь бессмыслицу.