Георг Гегель - Наука логики. Том I. Объективная логика

Несоизмеримость, имеющая место в примере, приводимом Спинозой, заключает в себе вообще криволинейные функции и приводит к тому бесконечному, которое ввела математика при действиях с этими функциями и вообще при действиях с функциями переменных величин ; последнее есть именно то истинно математическое , качественное бесконечное, которое мыслил также и Спиноза. Это определение мы должны здесь рассмотреть ближе.

Что касается, прежде всего, признаваемой столь важной категории переменности , под которую подводятся соотносимые в этих функциях величины, то они ближайшим образом переменны не в том смысле, в котором в дроби переменны оба числа 2 и 7, поскольку вместо них можно поставить также 4 и 14, 6 и 21 и т. д. до бесконечности без изменения значения дроби. В этом смысле можно еще с большим правом поставить в дроби вместо a и b любые числа без изменения того, что должно выражать собою . Лишь в том смысле, что также и вместо x и y в какой-либо функции можно поставить бесконечное, т. е. неисчерпаемое множество чисел, a и b суть такие же переменные величины, как и x и y . Поэтому выражение « переменные величины » страдает неясностью и неудачно выбрано для определений величин, интересность которых и способы действий над которыми коренятся в чем-то совершенно другом , чем только в их переменности.

Чтобы сделать ясным, в чем заключается истинное определение тех моментов какой-нибудь функции, которыми занимается высший анализ, мы должны снова вкратце обозреть указанные выше ступени. В дробях или числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные количества и соотношение для них несущественно; a и b также должны быть представителями таких определенных количеств, которые остаются тем, что они суть, также и вне отношения. Далее, и суть также некоторые постоянные определенные количества, некоторые частные; отношение составляет некоторую численность, единицей которой служит знаменатель, а численностью этих единиц — числитель или обратно. Если бы мы подставили вместо 2 и 7 — 4 и 14 и т. д., то отношение осталось бы тем же самым также и как определенное количество. Но это существенно изменяется, например, в функции ; здесь, правда, x и y имеют значение определенных количеств; но определенное частное имеют не x и y , а лишь x и y 2 . Благодаря этому указанные члены отношения x и y не только не суть, во-первых , такие-то определенные количества, но и, во-вторых их отношение не есть некоторое постоянное определенное количество (а также и не имеется в виду таковое, как это, например, имеет место при a и b ), не есть постоянное частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно . Но это зависит только от того, что x находится в отношении не к y , а к квадрату y . Отношение некоторой величины к степени есть не определенное количество , а по существу качественное отношение. Степенное отношение есть то обстоятельство , которое должно рассматриваться как основное определение . — В функции же прямой линии выражение есть обыкновенная дробь и частное; эта функция есть поэтому лишь формально функция переменных величин или, иначе говоря, x и y представляют собою здесь то же самое, что a и b в , они не имеют того определения, под которым их рассматривает диференциальное и интегральное исчисление. — Вследствие особенной природы переменных величин в этом способе рассмотрения было бы целесообразно ввести для них как особое название, так и особые обозначения , отличные от обычных названия и обозначений неизвестных величин в каждом конечном, определенном ли или неопределенном уравнении, — это было бы указанием их существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе суть вполне определенные количества или определенная совокупность определенных количеств. — И в самом деле, лишь отсутствие сознания своеобразия того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны потребность в диференциальном исчислении и изобретение его, привело к включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в состав этого особого исчисления; доля вины за такой формализм ложится также и на то недоразумение, по которому полагают, что возможно выполнить само по себе правильное требование обобщения какого-нибудь метода тем, что опускается та специфическая определенность, на которой основана потребность в этом методе, так что считается, что дело идет в рассматриваемой нами области только о переменных величинах вообще . Значительная доля формализма в рассмотрении, равно как и трактовке этих предметов, несомненно не имела бы места, если бы поняли, что диференциальное исчисление касается не переменных величин как таковых, а степенных определений .

Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой выступает в своем своеобразии математическое бесконечное. В уравнении, в котором x и y положены ближайшим образом как определенные некоторым степенным отношением, x и y как таковые должны еще означать некоторые определенные количества; и вот это значение совершенно утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях , dx , dy уже не суть определенные количества и не должны обозначать таковых, а имеют значение лишь в своем соотношении, имеют смысл лишь как моменты . Они уже больше не суть нечто , если принимать нечто за определенное количество, не суть конечные разности; но они также и не суть ничто , не суть лишенный определения нуль. Вне своего отношения они — чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как определения диференциального коэфициента .

В этом понятии бесконечного определенное количество подлинно завершено в некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а как определенное количество вообще. Но при этом сохраняется количественная определенность как элемент определенных количеств, как принцип или, как также выражались, она сохраняется в своем первом понятии .