Коллектив авторов - Теорема Геделя о неполноте [Фейк]

Пенроуз утверждает, что предположение о существовании компьютерной программы, воспроизводящей функции человеческого интеллекта, в частности, воспроизводящей функции, составляющие математические способности человека, ведет к противоречию.

Предположим, что математические способности некоторого математика (например, самого Пенроуза) полностью описываются некоторой формальной системой F. Это означает, что любое математическое утверждение, которое Пенроуз признает "неоспоримо верным", является теоремой, доказываемой в F, и наоборот. Предположим, также, что Пенроуз знает, что F описывает его математические способности. Пенроуз, также, полагает, что тот факт, что F описывает его математические способности, - эквивалентен вере в непротиворечивость и непогрешимость F. (В противном случае мы должны были бы поставить под сомнение истины, которые представляются нам "неоспоримо истинными").

Согласно теореме Геделя о неполное формальных систем, поскольку F непротиворечива, существует геделевское предложение G(F), которое должно быть истинным, но которое не является теоремой в системе F. Однако, поскольку Пенроуз верит, что F - непротиворечивая система и знает, что F представляет его способность к математическим рассуждениям, он должен прийти к выводу, что G(F) является "неоспоримой истиной". Таким образом, мы получаем математическое утверждение G(F), которое Пенроуз признает истинным, но которое не является теоремой в F , что противоречит первоначальному предположению, что F представляет целиком и полностью математические способности Пенроуза.

Отсюда вывод, что никакая формальная система не может быть адекватным выражением математических способностей человека и, следовательно, невозможна полная компьютерная имитация человеческого сознания.

Работы Лукаса и Пенроуза вызвали достаточно большой резонанс в научной среде. (См., например, дискуссию по книге Пенроуза "Тени ума" в журнале PSYHE ( 4 -11)). В целом, однако, преобладает критическое отношение к геделевскому аргументу. В следующем разделе данной работы мы последовательно рассмотрим типичные возражения, выдвигаемые против геделевского аргумента и дадим оценку каждому из них. Все это позволит нам выяснить подлинное значение геделевского аргумента.

Литертура:

1. Lucas J.R. Mind, Machines, and Godel // Philosophy, 1961, 36, pp. 112-127.

2. Penrose R. The Emperor's New Mind. L. 1989.

3. Penrose R. Shadows of the Mind. L., 1993.

4. Baars B.J. Can Physics Provide a Theory of consciosness? // PSYCHE, 1995, 2 (8).

5. McCarthy J. Awareness and Understending in Computer Programs // PSYCHE, 1995, 2 (11).

6. Chalmers D.J. Mind, Machines, and Mathematics // PSYCHE, 1995, 2(9).

7. Klein S.A. Is Quanum Mechanics Relevant to Anderstenting consciousness? // PSYCHE, 1995, 2 (2)

8. McDermott D. Penrose is Wrong // PSYCHE, 1995, 2 (2).

9. Feferman S. Penrose's Godelian Argument // PSYCHE, 1995, 2 (7).

10. Moravec H. Roger Penrose's Gravitonic Brains // PSYCHE, 1995, 2 (6).

11. Penrose R. Beyond the Doubting of Shadow // PSYCHE, 1996, 2 (23).

12. Антипенко Л.Г. Проблема неполноты теории и ее гносеологическое значение. М., 1986.

13. Chalmers D.J. Facing Up to the Problem of Consciousness // Journal of Consciousness Studies, 2 (3), 1995, pp.200 - 219.

14. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций эффективная вычислимость. М., 1972.

2. Критика геделевского аргумента.

По существу, все доводы против геделевского аргумента укладываются в две противоположные точки зрения:

а). Человек, также как и машина, подчинен действию ограничений, вытекающих из теоремы Геделя о неполноте формальных систем.

б). Теорема Геделя не накладывает никаких существенных ограничений не только на человека, но и на машину.

Рассмотрим вначале как может быть обоснована первая точка зрения. Аргументы здесь используются весьма разнообразные.

1. Утверждают: то, что невычислимо (неразрешимо) для машины, невычислимо (неразрешимо) и для человека. Поскольку невычислимость означает невозможность указать эффективную процедуру разрешения заданной массовой проблемы, то, очевидно, это условие в равной мере действенно и для машины, и для человека. Если алгоритма решения данной проблемы в принципе не существует, то его не существует и для человека, и, следовательно, человек, также как и машина, не способен решать алгоритмически неразрешимые проблемы.

В данном случае предполагается, что решение некой массовой проблемы непременно предполагает существование алгоритма ее разрешения, т.е. предполагается, что найти решение проблемы - это то же самое, что указать единую методику (алгоритм) решения любой задачи, входящей в состав данной массовой проблемы.

Однако, вполне можно предположить, что человек способен решать какие-то проблемы не зная в точности каким образом он их решает, т.е. не владея в явной форме алгоритмом решения данной проблемы. Действительно, нередко мы решаем те или иные задачи "интуитивно", не осознавая сам процесс, который приводит нас к решению. Например, мы распознаем образы не имея представления о том, каким образом наш мозг осуществляет данную операцию. Нет, также, оснований думать, что исследуя работу мозга мы непременно рано или поздно установим "алгоритм", лежащий в основе функции распознавания образов. Следовательно, разрешимость массовой проблемы и наличие алгоритма ее разрешения - это не одно и то же.

Таким образом, данное возражение следует отклонить.

2. Некоторые авторы (1 с. 213) полагают, что человек не способен решать алгоритмически неразрешимые проблемы, так как их разрешимость влечет существование логически противоречивых, абсурдных объектов, наподобие алгоритма применимого только ко всем несамоприменимым алгоритмам. (Напомним, что невозможность подобного алгоритма используется для доказательства теоремы о неразрешимости проблемы "остановки"). Ясно, что абсурд должен быть запрещен в равной мере как для машины, так и для человека. Следует ли, однако, отсюда, что всякий объект, способный эффективно решать алгоритмически неразрешимые массовые проблемы (например, проблему "остановки"), внутренне противоречив (есть нечто подобное "круглому квадрату" или "горячему мороженому") и, следовательно, не может существовать?

Рассмотрим для большей конкретности пример проблемы "остановки". Очевидно, что абсурдность возникает здесь лишь в том случае, если предполагаемое устройство, эффективно решающее данную проблему для любых алгоритмов и любых входных данных, является алгоритмическим устройством, т.е. действует на основе некоторого алгоритма. В самом деле, пусть Е - есть устройство успешно решающее проблему остановки, т.е. это устройство способное по произвольному алгоритму и произвольному "входу" установить (за конечное время) остановится данный алгоритм или же будет работать вечно. Тогда, очевидно, можно построить и устройство способное эффективно распознавать несамоприменимость алгоритмов, а также устройство, которое будет работать останавливаясь и выдавая некий результат в том и только в том случае, если на "вход" вводится описание несамоприменимого алгоритма. Будет ли существование такого устройства чем-то парадоксальным, самопротиворечивым? Парадокс возникает, как мы помним, в том случае, когда мы задаемся вопросом: является ли алгоритм применимый ко всем несамоприменимым алгоритмам самоприменимым, или же он является несамоприменимым? Ясно, что если этот алгоритм самоприменим, то устройство должно остановиться (в силу определения самоприменимости) и, одновременно, не должно остановиться, поскольку применимо лишь к несамоприменимым алгоритмам. Аналогичный результат мы получаем и в случае несамоприменимости данного алгоритма.