В Степин - Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M

422

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ми которых являются индивиды, напр., «+», «возраст», «расстояние от... до ...»). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (р, q, г, - ) __ аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая. Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов ее алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений — термы и формулы. Понятие «терма» вводится следующим индуктивным определением: (1) всякая предметная переменная — терм; (2) всякая предметная константа — терм; (3) если Ф — л-местная предметно-функциональная константа, и t,, t2,..., tn — термы, то выражение 0(t,, t2,..., tn) является термом; (4) ничто иное термом не является. Среди термов различают простые (указанные в пунктах (1) и (2) данного определения), и сложные (указанные в пункте (3)), а также замкнутые (не содержащие в своем составе предметных переменных) и незамкнутые (содержащие переменные). Замкнутые термы являются аналогами имен естественного языка (как простых, так и сложных), а незамкнутые — аналогами т. н. именных форм (выражений с переменными, которые могут быть преобразованы в имена с помощью подстановки конкретных имен на места переменных, напр., «рост х», «х х 5», «разница в возрасте между х и у»). Понятие формулы также определяется индуктивно: (1) если П — л-местная предикаторная константа, и t, t2,..., t — термы, то выражение n(tpt2,...,tn) является формулой; (2) если А — формула, то -тА — формула; (3) если А и В — формулы, то выражения (АлВ), (AvВ), (Аз В) также являются формулами; (4) если А — формула, и а — предметная переменная, то выражения Va А и За А также являются формулами; (5) ничто иное формулой не является. Внешние скобки в формулах обычно опускают. Заметим, что в определениях терма и формулы используются т. н. синтаксические переменные (А, В, a, t,, t3,..., tn, Ф, П) — переменные метаязыка, пробегающие по различным типам выражений объектного языка. Формулы, соответствующие пункту (1) определения, называют простыми, или атомарными, а все остальные формулы (которые содержат по крайней мере один логический символ) — сложными, или молекулярными. Различение замкнутых и незамкнутых формул требует предварительного введения нескольких синтаксических понятий. Подформула А в составе формул вида Va А и За А называется областью действия квантора ( V или 3 ) по переменной а. Конкретное вхождение некоторой переменной в некоторую формулу называется связанным, если это вхождение следует непосредственно за квантором или же находится в области действия квантора поданной переменной; в противном случае вхождение переменной называется свободным. Переменная а. свободна в формуле А, если и только если существует свободное вхождение a в А; переменная асвязана в формуле А, если и только если существует связанное вхождение a в А. (Иногда при формулировке языка логики предикатов свободные и связанные переменные различают уже на этапе задания его алфавита, для них используют различные списки символов. В таком случае разрешается квантификация только связанных переменных, а свободные переменные выступают в роли неквантифицируемых индивидных параметров.) Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных вхождений предметных переменных; в противном случае она является незамкнутой. Замкнутые формулы являются аналогами высказываний естественного языка (результатом символической записи любого высказывания является именно замкнутая формула), поэтому их иногда называют предложениями языка логики предикатов. Незамкнутые формулы соответствуют т. н. пропозициональным формам — выражениям естественного языка с переменными (напр., «х выше у», «х смелый»), из которых могут быть образованы вы- сказыванияпосредствомопераций константного или квантор- ного замыкания (напр., «Эверест выше Арарата», «Существует х такой, что je смелый»). Семантическое построение классической односортной логики предикатов первого порядка может осуществляться различными способами. Сформулируем наиболее естественную, теоретико-множественную объектную семантику описанного выше языка. Первый этап ее построения — задание класса допустимых интерпретаций нелогических символов языка. С этой целью выбирается некоторое множество U, называемое областью интерпретации (универсумом); единственным ограничением, накладываемым на U, является требование его непустоты. Приписывание значений нелогическим символам релятивизи- руется относительно выбранной предметной области. Его можно осуществить посредством специальной интерпретирующей функции I. Эта функция сопоставляет произвольной предметной константе к некоторый объект из универсума U: I(k) е U (при этом становится очевидным, что предметные константы имеют тот же тип значений, что имена естественного языка, и могут рассматриваться в качестве параметров последних), п-местной предикаторной константе П в качестве значения обычно приписывают экстенсионально понимаемые свойство или отношение на U, т. е. некоторое множество упорядоченных л-ок объектов из универсума: 1(П) c Un(Un —n-ная декартова степень множества U). Имеется и другая возможность — сопоставить константе П n-местную функцию, аргументами которой являются элементы универсума, а возможными значениями И («истина») и Л («ложь»): 1(П) есть функция типа Un —» {И,Л}. Во втором случае предикаторные константы рассматриваются как знаки предметно-истинностных функций. Произвольной n-местной предметно-функциональной константе Ф интерпретирующая функция сопоставляет в качестве значения n-местную операцию, заданную на множестве U (ее аргументами и значениями являются элементы универсума): 1(Ф) есть функция типа Un —> U. Интерпретирующую функцию I, релятивизированную относительно некоторой предметной области U, а точнее — пару , называют моделью или возможной реализацией. Выбор конкретной модели детерминирует значения всех замкнутых термов и замкнутых формул языка логики предикатов. Для определения значений незамкнутых термов и формул необходимо дополнительно зафиксировать, распределить значения предметных переменных (таковыми, как и для предметных констант, являются элементы универсума). Следующим этапом семантического построения логики предикатов является формулировка точных правил установления