Альфред Тарский - Истина и доказательство

Доминантная роль, которую в общей аргументации играет антиномия лжеца, раскрывает в интересном свете замечания, сделанные в первом разделе относительно роли антиномий в истории человеческой мысли. Антиномия лжеца впервые появляется в нашей дискуссии как разновидность злой силы, обладающей большой разрушительной энергией. Она принуждает отклонить все попытки прояснения понятия истины для естественных языков и заставляет ограничиться формализованными языками научного рассуждения. В качестве гарантии против возможного появления данной антиномии мы вынуждены были существенно усложнить дискуссию, вводя различие между языком и его метаязыком. Однако впоследствии в новой ограниченной области оказалось возможным «приручить» деструктивную энергию и использовать её в мирных, конструктивных целях: антномия не появляется, но её основная идея используется для достижения существенного методологического результата с далеко идущими следствиями.

Тот факт, что философские следствия этого результата негативны по своему характеру, нисколько не уменьшает его значения. Этот результат показывает, что в сфере математики понятие доказуемости не является совершенным заместителем понятия истины. Вера в формальное доказательство как адекватный инструмент для установления истины всех математических утверждений является необоснованной. За начальным триумфом формальных методов следует серьезное затруднение.

Понятие истины для формализованных теорий может быть введено посредством формально точной и материально адекватной дефиниции. Поэтому оно может быть использовано без каких-либо ограничений и оговорок в метатеоретических дискуссиях. Понятие истины действительно стало фундаментальным металогическим понятием, которое приводит к важным проблемам и результатам. С другой стороны, понятие доказательства также не потеряло своего значения. Доказательство все еще является единственным методом, используемым для утверждения истинности предложений в рамках любой математической теории. Однако теперь мы осознаем тот факт, что существуют предложения, сформулированные на языке данной теории, которые являются истинными, но недоказуемыми, и мы не можем не принимать в расчёт возможность того, что некоторые такие предложения имеются и среди тех, в которых мы заинтересованы и которые мы пытаемся доказать. Следовательно, в некоторых ситуациях у нас неизбежно должна возникать потребность расширения множества доказуемых предложений. С этой целью мы обогащаем данную теорию, включая новые предложения в систему её аксиом или вводя в неё новые правила доказательства. Осуществляя это, мы пользуемся понятием истины как своеобразным ориентиром, ибо мы стремимся добавлять новые аксиомы или новые правила доказательства только в том случае, если имеем основание полагать, что новые аксиомы являются истинными предложениями или что новые правила доказательства, если их применять к истинным предложениям, не могут привести к предложениям ложным.

В обогащённой теории множество доказуемых предложений является более обширным, чем в исходной теории, но оно всё еще не содержит всех истинных предложений. Этот процесс расширения теории, конечно, может быть повторен бесконечное число раз. Понятие множества истинных предложений функционирует, таким образом, как некий идеальный предел, который никогда не может быть достигнут, но к которому мы пытаемся приблизиться путем постепенного расширения множества доказуемых предложений. (Вероятно, понятие истины, хотя и по другим причинам, играет аналогичную роль и в сфере эмпирического знания). В истории математики не существует конфликта между понятиями истины и доказательства.

С детальным обсуждением предмета можно познакомиться по монографии автора «Понятие истины в формализованных языках», входящей в книгу «Логика, семантика, метаматематика» (A. Tarsky. Logic, Semantics and Metamathematics. Papers from 1923 to 1938. Oxford. 1956, pp. 152 278). Читатель может также получить из этой монографии более подробные библиографические ссылки, опущенные в данной статье. Против изложенных здесь идей выдвигались различные возражения, многие из них обсуждались в моей работе «Семантическая концепция истины и основания семантики» (A. Tarsky. The Semantic Conception of Truth and the Foundations of Semantics. «Philosophy and Phenomenology Research», 1944, vol. 4, pp. 341 376).

Аристотель. Метафизика, IV, 7, 1011 b 20. М. -Л., Соцэкгиз, 1934, стр. 75. Здесь и в последующем обсуждении слово «ложный» означает то же самое, что и выражение «неистинный», и может быть заменено последним.

В современной философской литературе обсуждаются также и некоторые другие концепции и теории истины, например, концепция утилитарности и теория когеренции. Эти концепции, видимо, являются концепциями исключительно нормативного характера и слабо связаны с действительным использованием термина «истинное». Ни одна из них не сформулирована пока ещё с достаточной степенью ясности и точности. Они не будут обсуждаться в этой статье.

У автора в этом и других аналогичных местах речь идёт о соответствующих выражениях английского языка.

См. B. Mates. Stoic Logic. Berkeley and Los-Angeles, 1953, в частности, стр. 42, 84.

Исчерпывающее её обсуждение можно найти в обширном труде: Rivetti Barbo. L’antinomia del mentitore nel pensiero contemperanto. Da Peirce a Tarski. Milan, 1961.

Идеи, представленные в последующей части этого раздела, подробно разработаны в моей книге «Введение в логику и методологию дедуктивных наук». М., ИЛ, 1949, гл. VI. Некоторые очень близкие идеи могут быть обнаружены в более ранней литературе. Например, в статье Б. Паскаля «De l’esprit geometrique et de l’art de persuader». In: B. Pascal. Oeuvres complètes. Paris, 1954.

K. Gödel. On Formally Indecidable Propositions in the Principia Mathematica and Related Systems. In «The Indecidable». N.Y. 1965, pp. 5-58.